Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\( \widehat{BIJ}=\widehat{BAI}+\widehat{ABI}\)
\(=\widehat{IAC}+\widehat{IBC}\) (I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
Xét (O) : \(\widehat{JAC}=\widehat{JBC}\)
Nên \( \widehat{BIJ}=\widehat{JBC}+\widehat{IBC}=\widehat{IBJ}\)
Suy ra tam giác BIJ cân tại J nên JB=JI
J ∈đường trung trực của BI
Chứng minh tương tự có: JI=JC nên J ∈đường trung trực của IC
Suy ra J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC
b, Xét O có \(\widehat{JBK} =90^o\)
nên tam giác JBK vuông tại B
BE là đường cao (OB=OC;JB=JC nên OJ trung trực BC)
suy ra \(JB^2=JE.JK\) hay \(JI^2=JE.JK\)
b, Xét (O) có\( \widehat{SBJ}=\widehat{BAJ}=\widehat{JBC} \)(góc tạo bởi tia tt và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung JB)
suy ra BJ là đường phân giác trong\( \widehat{SBE}\)
\(BJ⊥ BK \)nên BK là đường phân giác ngoài tam giác SBE
suy ra\( \dfrac{SJ}{JE}=\dfrac{SK}{EK}\)
hay \(SJ.EK=SK.JE\)
c, Đặt L là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC suy ra A;J;L thẳng hàng
CL phân giác ngoài góc C;CI phân giác ngoài góc C
suy ra 
JI=JC nên \(\widehat{JIC}=\widehat{JCI}\)
\( \widehat{JIC}+ \widehat{ILC}=90^o\)
\(\widehat{JCI}+ \widehat{JCL}=90^o\)
nên \(\widehat{ILC}= \widehat{JCL}\)
suy ra JC=JL nên J là trung điểm IL
Có:\( \widehat{ACL}=\widehat{ACI}+90^o\)
\(\widehat{AIB}=\widehat{ACI}+90^o\)
nên \(\widehat{ACL}=\widehat{AIB}\)
Lại có: \(\widehat{LAC}=\widehat{BAI}\)
nên tam giác ABI \(\backsim\) tam giác ALC
suy ra \(AB.AC=AI.AL\)
Có trung tuyến SB SC cát tuyến SDA nên tứ giác ABDC là tứ giác điều hòa với \(AB.DC=BD.AC=\dfrac{1}{2}.AD.BC\)
suy ra \(BD.AC=AD.EC\)
cùng với\( \widehat{BDA}=\widehat{ECA}\)
nên tam giác ABD đồng dạng AEC
suy ra \(AB.AC=AD.AE;\widehat{BAD}=\widehat{EAC}\)
vậy \(AD.AE=AI.AL;\widehat{DAI}=\widehat{LAE}\) (do AJ là phân giác góc A)
từ đây suy ra tam giác ADI\( \backsim\) tam giác ALE
nên \(\widehat{ADI}=\widehat{ALE}\)
mà \( \widehat{ADI}= \widehat{AJM}=\widehat{ALE}\)
nên JM//LE
J là trung điểm IL nên JM đi qua trung điểm IE (đpcm)
C108: Thấy cái này hay hay nên chăm hơn chứ lười quá :v
Đặt \(xy=t\Rightarrow x^2+y^2=4-2t\).
Ta cần chứng minh \(t\left(4-2t\right)\le2\). (*)
Thật vậy \((*)\Leftrightarrow 2(t-2)^2\geq 0\) (luôn đúng).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(xy=2\) tức x = y =1
2.
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\ge16\Rightarrow a+b\ge4\)
\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{a+b}{2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{6}{a+b-1}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)-12\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)\left(a+b+3\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(a+b\ge4\))
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)
Câu cuối:
Ta chứng minh BĐT phụ sau: với mọi x;y;z dương, ta luôn có: \(\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương:
\(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (đúng)
Áp dụng:
\(P\ge\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}=a+b+c\ge6\)
\(P_{min}=6\) khi \(a=b=c=2\)
`4)(2x^3+3x)/(7-2x)>\sqrt{2-x}(x<=2)`
`<=>(2x^3+3x^2)/(7-2x)-1>\sqrt{2-x}-1`
`<=>(2x^3+3x^2+2x-7)/(7-2x)-((\sqrt{2-x}-1)(\sqrt{2-x}+1))/(\sqrt{2-x}+1)>0`
`<=>(2x^3-2x^2+5x^2-5x+7x-7)/(7-2x)-(1-x)/(\sqrt{2-x}+1)>0`
`<=>((x-1)(2x^2+5x+7))/(7-2x)+(x-1)/(\sqrt{2-x}+1)>0`
`<=>(x-1)((2x^2+5x+7)/(7-2x)+1/(\sqrt{2-x}+1))>0`
`<=>x>1` do `x<=2=>7-2x>0,2x^2+5x+7>0 AA x,\sqrt{2-x}>0,1>0`
`=>(2x^2+5x+7)/(7-2x)+1/(\sqrt{2-x}+1)>0`
`=>1<x<=2`
Câu 1:
$\begin{cases}14x^2-21y^2-6x+45y-4=0\\35x^2+28y^2+41x-122y+56=0\\\end{cases}$
`<=>` $\begin{cases}686x^2-1028y^2-174x+294y-196=0\\525x^2+420y^2+615x-1830y+840\\\end{cases}$
Lấy pt đầu trừ pt dưới
`<=>161x^2+483y-1127-483xy-1449y+3381+218x+654y-1519=0`
`<=>161x(x+3y-7)-483y(x+3y-7)+218(x+3y-7)=0`
`<=>(x+3y-7)(161x-483y+218)=0`
Đến đây chia 2 th ta được `(x,y)=(-2,3),(1,2)`
Chúc mừng page và mọi người nha!~
Hãy mời bạn bè like page và chụp màn hình (trước và sau khi mời) để được tính điểm trong hậu sự kiện CỰC KHỦNG của page nhé.
Với mỗi 100 bạn bè mời được, các bạn được cộng 4 điểm. Tối đa mỗi người có thể nhận được 100 điểm từ phần này trong toàn bộ sự kiện (có thể dùng nhiều tài khoản)