Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=27x^2-36x+12+\frac{8x}{y}\)
\(=\frac{8x}{1-x}+18x\left(1-x\right)+45x^2-54x+12\)
\(\ge45x^2-54x+12+24x\)
\(=45x^2-30x+12=5\left(9x^2-6x+\frac{12}{5}\right)\)
\(=5\left[\left(3x-1\right)^2+\frac{7}{5}\right]\ge7\)
Dấu = khi \(x=\frac{1}{3};y=\frac{2}{3}\)
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
Làm trước câu 3:
Ta có:
\(\frac{1x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{x+y}{c}\)
\(\Leftrightarrow1bcx+acy=abx+aby\)
\(\Leftrightarrow1x\left(bc-ab\right)=y\left(ab-ac\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1x}{y}=\frac{a\left(b-c\right)}{b\left(C-a\right)}\)
Ta cần chứng minh
\(1xa^2+yb^2=\left(x+y\right)c^2\)
\(\Leftrightarrow1x\left(a^2-c^2\right)=y\left(c^2-b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1x}{y}=\frac{\left(c-b\right)\left(c+b\right)}{\left(a-c\right)\left(a+c\right)}=\frac{a\left(b-c\right)}{b\left(c-a\right)}\)
Vậy ta có ĐPCM
tuổi con HN là :
50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )
tuổi bố HN là :
50 - 10 = 40 ( tuổi )
hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi
ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|
con : |----| hiệu 30 tuổi
tuổi con khi đó là :
30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )
số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :
15 - 10 = 5 ( năm )
ĐS : 5 năm
mình nha
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\right)=\left(a;b\right)\Rightarrow ab+a+b=3\)
\(\Rightarrow ab+2\sqrt{ab}\le3\Rightarrow\left(\sqrt{ab}+3\right)\left(\sqrt{ab}-1\right)\le0\)
\(\Rightarrow\sqrt{ab}\le1\Rightarrow ab\le1\)
\(P=\frac{a}{\sqrt{3+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{3+b^2}}=\frac{a}{\sqrt{ab+a+b+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{ab+a+b+b^2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+1\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+1\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+1}\right)\)
\(P\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{ab+a+ab+b}{ab+a+b+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{ab+3}{4}\right)\)
\(P\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1+3}{4}\right)=1\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=1\) hay \(x=y=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Từ giả thiết:\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)\(=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+x}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{y}+y}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z}+z}}\)\(=\sqrt{\frac{a}{a+\frac{1}{a}}}+\sqrt{\frac{b}{b+\frac{1}{b}}}+\sqrt{\frac{c}{c+\frac{1}{c}}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
Đến đây:\(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a}{a+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
Tương tự:\(\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)
Cộng 3 bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh :))
Áp dụng bđt AM-GM\(3\left(3x-2\right)^2+\frac{8x}{y}=3\left(9x^2-12x+4\right)+\frac{8x}{y}\)
\(=27x^2-36x+12+\frac{8x}{y}=27x^2-24x+12y+\frac{8x}{y}\)
\(=\left(24x^2+4y+\frac{16x}{3y}\right)+\left(3x^2+8y+\frac{8x}{3y}\right)-24x\)
\(\ge3\sqrt[3]{24x^2.4y.\frac{16x}{3y}}+\left(3x^2+8y+\frac{8x}{3y}\right)-24x=3x^2+8y+\frac{8x}{3y}\)
\(=\left(3x^2+\frac{y}{2}+\frac{2x}{3y}\right)+\left(\frac{15}{2}y+\frac{2x}{y}\right)\ge3\sqrt[3]{3x^2.\frac{y}{2}.\frac{2x}{3y}}+\left(\frac{15}{2}y+\frac{2x}{y}\right)=3x+\frac{15y}{2}+\frac{2x}{y}\)
\(=3x+\frac{15y}{2}+\frac{2x}{y}+2-2=3x+\frac{15y}{2}+\frac{2}{y}-2\)
\(=\left(3x+3y\right)+\left(\frac{9}{2}y+\frac{2}{y}\right)-2\ge3+2\sqrt{\frac{9y}{2}.\frac{2}{y}}-2=3+6-2=7\)
\("="\Leftrightarrow x=\frac{1}{3};y=\frac{2}{3}\)