Question

[shitbo]

 Cho:\(x;y\ge0;x+y\le6.cm:-64\le x^2y\left(4-x-y\right)\le4\)

Answer 1

[tth_new]

Trước  hết, ta c/m \(x^2y\left[4-\left(x+y\right)\right]\ge-64\)

Thật vậy: \(VT\ge-2x^2y=-\left(x.x.2y\right)\ge-\frac{\left(x+x+2y\right)^3}{27}\) (lưu ý cái dấu - phía trước nhá)

\(=-\frac{\left(2\left(x+y\right)\right)^3}{27}=-64\).

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=2y\\x+y=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}}\)

Tiếp theo, chứng minh \(x^2y\left(4-x-y\right)\le4\)

Áp dụng BĐT \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)với chú ý bđt này đúng với mọi a, b là các số thực. Đẳng thức xảy ra khi a = b.

Ta có: \(x^2\left[y\left(4-x-y\right)\right]\le\frac{x^2\left(y+4-x-y\right)^2}{4}\)

\(=\frac{x^2\left(4-x\right)^2}{4}=\left[\frac{x\left(4-x\right)}{2}\right]^2\). Áp dụng BĐT trên một lần nữa:

\(\le\left[\frac{\frac{\left(x+4-x\right)^2}{4}}{2}\right]^2=4\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\) (tự giải rõ ra)

Hoàn tất chứng minh!