Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira,
Nguyễn Lê Phước Thịnh, Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Thanh Hiền, Quân Tạ Minh, @tth_new
Help meeee! thanks nhiều ạ
a/ \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\le\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)-2\left(1+x\right)\left(1+y\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}-x-y-2xy\le0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)-\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{xy}-1\right)\le0\) đúng vì \(x,y\le1\)
b/ Vì \(\hept{\begin{cases}0\le x\le y\le z\le t\\yt\le1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}xz\le1\\yt\le1\end{cases}}\)
Áp dụng câu a ta được
\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+t}\le\frac{2}{1+\sqrt{xz}}+\frac{2}{1+\sqrt{yt}}\le\frac{4}{1+\sqrt[4]{xyzt}}\)
Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=4\)
=> \(\orbr{\begin{cases}x+y+z=2\\x+y+z=-2\end{cases}}\)
+ \(x+y+z=2\)
Thay vào Pt (1)
=> \(xy+z\left(2-z\right)=1\)
=> \(xy=\left(z-1\right)^2\)=> \(x,y,z\ge0\)( do \(x+y+z=2>0\))
Mà \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\left(\frac{2-z}{2}\right)^2\)
=> \(z-1\le\frac{2-z}{2}\)=> \(z\le\frac{4}{3}\)
Hoàn toàn TT => \(x,y,z\le\frac{4}{3}\)
+ \(x+y+z=-2\)
=> \(xy+z\left(-2-z\right)=1\)
=> \(xy=\left(z+1\right)^2\)=> \(x,y,z\le0\)( do \(x+y+z=-2< 0\))
Mà \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\left(\frac{-2-z}{2}\right)^2\)
=> \(\left(z+1\right)^2\le\left(\frac{z+2}{2}\right)^2\)
=> \(z+1\ge\frac{-z-2}{2}\)=> \(z\ge-\frac{4}{3}\)
TT => \(x,y,z\ge-\frac{4}{3}\)
Vậy \(-\frac{4}{3}\le x,y,z\le\frac{4}{3}\)
Bài 1:
\(\frac{2}{x^2+2y^2+3}=\frac{2}{\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+1\right)+2}\le\frac{2}{2xy+2y+2}=\frac{1}{xy+y+1}\)
Bài 2:
\(A=\frac{4}{4x^2+9y^2}+\frac{4}{12xy}+\frac{52}{2x.3y}\ge\frac{16}{4x^2+9y^2+12xy}+\frac{52.4}{\left(2x+3y\right)^2}\)
\(A\ge\frac{16}{\left(2x+3y\right)^2}+\frac{208}{\left(2x+3y\right)^2}=\frac{224}{\left(2x+3y\right)^2}\ge\frac{224}{4}=56\)
\(A_{min}=56\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Chỉ có biến đổi tương đương:
\(\frac{x^2+y^2+2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\le\frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x^2+y^2+2\right)\le2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2+x^3y+xy^3+2xy\le2+2x^2+2y^2+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2-2xy\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\le0\) (luôn đúng với mọi \(xy\le1\))
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=y\\xy=1\end{matrix}\right.\)
b/ Tính chất của z ở câu b là gì bạn? z bất kì là ko được đâu, hơn nữa mẫu số của vế phải thấy hơi kì quặc
1.
Đầu tiên ta cm: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\) (cô si)
Dấu "=" khi a = b.
Áp dụng:
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\) \(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}\cdot4xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)
\(=4+2+5=11\)
Vậy MinA = 11 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\Leftrightarrow x^2+1=P\left(x^2-x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+1-Px^2+Px-P=0\)(*)
\(\Leftrightarrow\left(1-P\right)x^2+Px+\left(1-P\right)=0\)
\(\Delta=P^2-4\left(1-P\right)^2\)
\(=P^2-4\left(1-2P+P^2\right)=-3P^2+8P-4\)
Để P có GTNN và GTLN thì phương trình (*) có nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow-3P^2+8P-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3P^2+2P+6P-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow-P\left(3P-2\right)+2\left(3P-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3P-2\right)\left(2-P\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\le P\le2\)
Vậy \(min_P=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=-1\); \(max_P=2\Leftrightarrow x=1\)
\(\frac{xy\sqrt{z-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{x-3}}{xyz}\\ =\frac{xy\sqrt{z-1}}{xyz}+\frac{xz\sqrt{y-2}}{xyz}+\frac{yz\sqrt{x-3}}{xyz}\\ =\frac{\sqrt{z-1}}{z}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}\\ =\frac{2\sqrt{z-1}}{2z}+\frac{2\sqrt{2}\sqrt{y-2}}{2\sqrt{2}y}+\frac{2\sqrt{3}\sqrt{x-3}}{2\sqrt{3}x}\)
Áp dụng BDT Cô-si với 2 số không âm:
\(\Rightarrow\frac{2\sqrt{z-1}}{2z}+\frac{2\sqrt{2}\sqrt{y-2}}{2\sqrt{2}y}+\frac{2\sqrt{3}\sqrt{x-3}}{2\sqrt{3}x}\\ \le\frac{1+\left(z-1\right)}{2z}+\frac{2+\left(y-2\right)}{2\sqrt{2}y}+\frac{3+\left(x-3\right)}{2\sqrt{3}x}\\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z-1=1\\y-2=2\\x-3=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=2\\y=4\\x=6\end{matrix}\right.\)
Vậy.......
\(a.\)
\(\text{*)}\) Áp dụng bđt \(AM-GM\) cho hai số thực dương \(x,y,\) ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\) (do \(xy=1\) )
\(\Rightarrow\) \(3\left(x+y\right)\ge6\)
nên \(D=x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+3\left(x+y\right)\ge x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+6\)
\(\Rightarrow\) \(D\ge\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]+5\)
\(\text{*)}\) Tiếp tục áp dụng bđt \(AM-GM\) cho bộ số loại hai số không âm gồm \(\left(x^2+y^2+1;\frac{9}{x^2+y^2+1}\right),\) ta có:
\(\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2+1\right).\frac{9}{\left(x^2+y^2+1\right)}}=6\)
Do đó, \(D\ge6+5=11\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy, \(D_{min}=11\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
\(b.\) Bạn tìm điểm rơi rồi báo lại đây