TN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
0
NT
0
TA
1
15 tháng 1 2018
Đặt (x3;y3;z3)=(a;b;c)(x,y,z>0)(x3;y3;z3)=(a;b;c)(x,y,z>0)
⇒xyz=1⇒xyz=1
Ta cần chứng minh
1x3+y3+1+1y3+z3+1+1z3+x3+1≤11x3+y3+1+1y3+z3+1+1z3+x3+1≤1
Áp dụng AM-GM, ta có: x3+y3+1=(x+y)(x2−xy+y2)+xyzx3+y3+1=(x+y)(x2−xy+y2)+xyz
≥(x+y)xy+xyz=xy(x+y+z)≥(x+y)xy+xyz=xy(x+y+z)
⇒1x3+y3+1≤1xy(x+y+z)⇒1x3+y3+1≤1xy(x+y+z)
Tương tự: 1y3+z3+1≤1yz(x+y+z)1y3+z3+1≤1yz(x+y+z)
1z3+x3+1≤1zx(x+y+z)1z3+x3+1≤1zx(x+y+z)
Cộng vế theo vế, ta được
....≤1x+y+z(1xy+1yz+1xz)=1x+y+z.x+y+zxyz=1xyz=1....≤1x+y+z(1xy+1yz+1xz)=1x+y+z.x+y+zxyz=1xyz=1
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
TH
0
TX
0
NN
0
22 tháng 12 2018
\(\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}\)
\(\le\dfrac{1}{2\sqrt{a^2bc}}+\dfrac{1}{2\sqrt{b^2ac}}+\dfrac{1}{2\sqrt{c^2ab}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}{2abc}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}-\dfrac{a+b+c}{2abc}\le0\left(đpcm\right)\)