Question

[Bảo Bảo]

Cho \(x,y,z\ne0\) và \(a,b,c>0\) sao cho \(ax+by+cz=0\) và \(a+b+c=2017\).

Rút gọn và tính giá trị phân thức:

\(P=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{bc\left(y-z\right)^2+ac\left(x-z\right)^2+ab\left(x-y\right)^2}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Xét mẫu số:

\(bc(y-z)^2+ac(x-z)^2+ab(x-y)^2=bc(y^2+z^2)+ac(x^2+z^2)+ab(x^2+y^2)-2(bcyz+acxz+abxy)\) (1)

Vì \(ax+by+cz=0\Rightarrow (ax+by+cz)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2(abxy+bcyz+acxz)=0\)

\(\Leftrightarrow -2(abxy+bcyz+acxz)=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\)(2)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{MS}=bc(y^2+z^2)+ac(x^2+z^2)+ab(x^2+y^2)+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\)

\(=ax^2(a+b+c)+by^2(a+b+c)+cz^2(a+b+c)\)

\(=(a+b+c)(ax^2+by^2+cz^2)\)

Do đó:

\(P=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{(a+b+c)(ax^2+by^2+cz^2)}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{2017}\)