Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
\(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\)
\(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)\le6\sqrt{2}\)
Ta lại có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\le3\)
Theo đề bài ta có
\(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+3\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\le6\sqrt{2}+\left(3-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le3\sqrt{2}+9\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1
Ta có BĐT sau: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng, ta được: \(\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2x}\right)^2\le2\left(x^2+1+2x\right)=2\left(x+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)(1)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{y^2+1}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\)(2); \(\sqrt{z^2+1}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)(3)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)
\(\Rightarrow\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)(Nhân 2 vế của bất đẳng thức với \(2-\sqrt{2}>0\)) (4)
Cộng theo vế của 4 BĐT (1), (2), (3), (4), ta được:
\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}+\left(\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\right)\)\(+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)-\left(\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\right)\)\(\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)
\(\le6\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right).3=6+3\sqrt{2}\)(Do theo giả thiết thì \(x+y+z\le3\))
hay \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le6+3\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là \(6+3\sqrt{2}\), đạt được khi x = y = z = 1
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
A
Áp dụng BĐT cosi ta có
\(\sqrt{\left(2x-1\right).1}\le\frac{2x-1+1}{2}=x\)
\(x\sqrt{5-4x^2}\le\frac{x^2+5-4x^2}{2}=\frac{-3x^2+5}{2}\)
Khi đó
\(A\le3x+\frac{-3x^2+5}{2}=\frac{-3x^2+6x+5}{2}=\frac{-3\left(x-1\right)^2}{2}+4\le4\)
MaxA=4 khi \(\hept{\begin{cases}2x-1=1\\x^2=5-4x^2\\x=1\end{cases}\Rightarrow}x=1\)
B
Áp dụng BĐT cosi ta có :
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
=> \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
=> \(B\le\frac{xyz.\left(\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{xyz.\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(xy+yz+xz\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Lại có \(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\); \(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
=> \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\left(xy+yz+xz\right)\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.\sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}=3\sqrt{3}.xyz\)
=> \(B\le\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{9}\)
\(MaxB=\frac{3+\sqrt{3}}{9}\)khi x=y=z
TA CÓ:
\(B=\frac{1}{\sqrt{x\left(y+2z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{y\left(z+2x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{z\left(x+2y\right)}}\ge\frac{1}{\frac{x+y+2z}{2}}+\frac{1}{\frac{y+z+2x}{2}}+\frac{1}{\frac{z+x+2y}{2}}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)}=\frac{18}{3\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}\)
DẤU BẰNG XẢY RA:\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\frac{B}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3x\left(y+2z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3y\left(z+2x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3z\left(x+2y\right)}}\)
\(\ge\frac{1}{\frac{3x+y+2z}{2}}+\frac{1}{\frac{3y+z+2x}{2}}+\frac{1}{\frac{3z+x+2y}{2}}\ge\frac{2\left(1+1+1\right)^2}{6\left(x+y+z\right)}=\frac{18}{6\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{18\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=3\)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ta có \(\frac{2}{\sqrt{x}}-z=\frac{2\sqrt{xyz}}{\sqrt{x}}-z\)\(=2\sqrt{yz}-z\le y+z-z=y\)THEO bđt côsi
Tương tự \(\frac{2}{\sqrt{y}}-x\le z\)và \(\frac{2}{\sqrt{z}}-y\le x\)
\(\Rightarrow A\le xyz=1\)
VẬY MAX A=1 TẠI x=y=z=1
Đặt \(\sqrt{x}=x;\sqrt{y}=y;\sqrt{z}=z\) cho dễ nhìn.
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=2\\x^2+y^2+z^2=2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=4\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=1\)
Ta có:
\(x\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)+y\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)+z\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(=x^2y^2z+y^2z^2x+z^2x^2y+x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y+x+y+z\)
\(=xyz\left(xy+yz+zx\right)+x^2\left(2-x\right)+y^2\left(2-y\right)+z^2\left(2-z\right)+2\)
\(=-2xyz+2\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)+2\)
\(=-2xyz+6-\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(=-2xyz+6-2=-2xyz+4\)
Ta lại có:
\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)=x^2y^2z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+x^2+y^2+z^2+1\)
\(=x^2y^2z^2+\left(xy+yz+zx\right)^2-2xyz\left(xy+yz+zx\right)+3\)
\(=x^2y^2z^2-2xyz+4=\left(xyz-2\right)^2\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\left(xyz-2\right)^2}.\frac{4-2xyz}{\left(xyz-2\right)^2}\)
Tới đây bí :((