Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}=\dfrac{y-x+x-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)\(=\dfrac{y-x}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{x-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\) \(=\dfrac{1}{z-x}+\dfrac{1}{x-y}\)
Tương tự:
\(\dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}=\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}\)
\(\dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}\)
\(\Rightarrow\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\) \(=\dfrac{2}{x-y}+\dfrac{2}{y-z}+\dfrac{2}{z-x}\) \(\left(đpcm\right)\)
Áp dụng tc dtsbn:
\(\dfrac{x}{2013}=\dfrac{y}{2014}=\dfrac{z}{2015}=\dfrac{x-z}{-2}=\dfrac{y-z}{-1}=\dfrac{x-y}{-1}\\ \Leftrightarrow\dfrac{x-z}{2}=\dfrac{y-z}{1}=\dfrac{x-y}{1}\\ \Leftrightarrow x-z=2\left(y-z\right)=2\left(x-y\right)\\ \Leftrightarrow\left(x-z\right)^3=8\left(x-y\right)^3=8\left(x-y\right)^2\left(x-y\right)=8\left(x-y\right)^2\left(y-z\right)\)
a)
TH1. nếu \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|x\right|\ge\left|x+0\right|=\left|x\right|\\\left|y\right|\ge\left|0+y\right|=\left|y\right|\end{matrix}\right.\) hiển nhiên đúng
TH2.với x, y khác 0
x.y>0 nghĩa là x, y cùng dấu
\(\left|x+y\right|=\left|-x-y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|\)
x.y<0 nghĩa là x, y trái dấu
\(\left|x+y\right|=\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\)
Nếu \(\left|x\right|\ge\left|y\right|\Rightarrow\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|=\left|x\right|-\left|y\right|\)(1)
Nếu \(\left|x\right|\le\left|y\right|\Rightarrow\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|=\left|y\right|-\left|x\right|\)(2)
hiển nhiển \(\left|x\right|+\left|y\right|\) luôn lơn hơn (1) và (2)
TH1 và TH2 => dpcm
b) x,y,z,t có vai trò như nhau đối VT =>
không mất tính tổng quát g/s: \(\left|x\right|\ge\left|y\right|\ge\left|z\right|\ge\left|t\right|\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y\right|=\left|x\right|-\left|y\right|\\\left|y-z\right|=\left|y\right|-\left|z\right|\\\left|z-t\right|=\left|z\right|-\left|t\right|\\\left|t-x\right|=\left|x\right|-\left|t\right|\end{matrix}\right.\)
Cộng lại
VT =\(2\left(\left|x\right|-\left|t\right|\right)\) vậy VT luôn là một số chẵn VP là số lẻ => vô nghiệm
Hầy mình không nghĩ lớp 7 đã phải làm những bài biến đổi như thế này. Cái này phù hợp với lớp 8-9 hơn.
1.
Đặt $x^2-y^2=a; y^2-z^2=b; z^2-x^2=c$.
Khi đó: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$
$\text{VT}=a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$
$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)$
$=3(x-y)(x+y)(y-z)(y+z)(z-x)(z+x)$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(x+z)$
$=3.4(x-y)(y-z)(z-x)=12(x-y)(y-z)(z-x)$
Ta có đpcm.
Bài 2:
Áp dụng kết quả của bài 1:
Mẫu:
$(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1)$
Tử:
Đặt $x-y=a; y-z=b; z-x=c$ thì $a+b+c=0$
$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=a^3+b^3+c^3$
$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra \(\frac{(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}=1\)
\(x\left(y+z\right)=32;y\left(x+z\right)=27;z\left(x+y\right)=35\\ \Rightarrow\left(xy+xz\right)+\left(xy+yz\right)+\left(xz+yz\right)=32+27+35\\ \Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)=94\\ \Rightarrow xy+yz+xz=47\\ \Rightarrow yz=15;xz=20;xy=12\\ \Rightarrow\left(x.y.z\right)^2=3600\)
Ta có : x;y;z khác 0 nên x.y.z khác 0
=> x.y.z=60
Ta có :
\(a\left(y+z\right)=b\left(z+x\right)=c\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{z+x}{a}=\dfrac{y+x}{b}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{z+x}{a}=\dfrac{y+x}{b}=\dfrac{z+x-y-x}{a-b}=\dfrac{x-y}{a-b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{z+x}{a}.\dfrac{1}{c}=\dfrac{z+x}{b}.\dfrac{1}{c}=\dfrac{x-y}{c\left(a-b\right)}\left(1\right)\)
Ta lại có :
\(b\left(z+x\right)=c\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{z+x}{b}=\dfrac{x+y}{c}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{z+x}{b}=\dfrac{x+y}{c}=\dfrac{z+x-x-y}{b-c}=\dfrac{y-y}{b-c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{z+x}{b}.\dfrac{1}{a}=\dfrac{x+y}{c}.\dfrac{1}{a}=\dfrac{y-x}{a\left(c-b\right)}\left(2\right)\)
Lại có :
\(a\left(y+z\right)=c\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z}{a}=\dfrac{x+y}{c}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{y+z}{a}=\dfrac{x+y}{c}=\dfrac{y+z-x-y}{a-c}=\dfrac{z-x}{a-c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z}{a}.\dfrac{1}{b}=\dfrac{x+y}{c}.\dfrac{1}{b}=\dfrac{z-x}{b\left(c-a\right)}\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Leftrightarrowđpcm\)