HT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
22 tháng 10 2017
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a+2\\y=b+2\\z=c+2\end{matrix}\right.\)\(\left(a,b,c>0\right)\). Cần cm \(abc\le1\)
Từ \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{1}{a+2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{c+2}\)
\(\ge\dfrac{b}{2\left(b+2\right)}+\dfrac{c}{2\left(c+2\right)}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{4\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
Tương tự rồi cộng theo nhân theo vế
\(\dfrac{1}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\ge\dfrac{abc}{\sqrt{\left(a+2\right)^2\left(b+2\right)^2\left(c+2\right)^2}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\ge\dfrac{abc}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(\Leftrightarrow abc\ge1\)*đúng hay ta có ĐPCM*
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 5 2020
Câu 2:
Từ điều kiện bài này có thể đặt ẩn phụ và AM-GM ra luôn kết quả, nhưng hơi rắc rối khi người ta hỏi từ đâu mà có cách đặt ẩn phụ như vậy, do đó ta giải trâu :D
\(x^2+y^2+z^2+xyz=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}+2\left(\frac{x}{2}.\frac{y}{z}.\frac{z}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{2z}.\frac{xz}{2y}+\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}+\frac{yz}{2x}.\frac{xz}{2y}+2\left(\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}.\frac{xy}{2y}\right)=1\)
Đặt \(\left(\frac{xy}{2z};\frac{zx}{2y};\frac{yz}{2x}\right)=\left(m;n;p\right)\Rightarrow mn+np+pn+2mnp=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(n+1\right)\left(m+1\right)\left(p+1\right)=\left(n+1\right)\left(m+1\right)+\left(n+1\right)\left(p+1\right)+\left(m+1\right)\left(p+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{p+1}=2\)
\(\Leftrightarrow1=\frac{n}{n+1}+\frac{m}{m+1}+\frac{p}{p+1}\ge\frac{\left(\sqrt{n}+\sqrt{m}+\sqrt{p}\right)^2}{m+n+p+3}\)
\(\Leftrightarrow m+m+p+2\left(\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\right)\le m+n+p+3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow x+y+z\le3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 5 2020
Câu 1:
\(2xyz=1-\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=2xyz+\left(x+y+z\right)-1\)
\(VT=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-4xyz+2\)
\(VT\ge\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3+2\)
\(VT\ge\frac{4}{27}\left[\frac{15}{4}-\left(x+y+z\right)\right]\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)
(Do \(0< x;y;z< 1\Rightarrow x+y+z< 3< \frac{15}{4}\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
PT
0
DH
7 tháng 2 2020
Ta có: \(x+y+z=1\) nên:
\(\Rightarrow y+z=1-x\)
Thay \(y+z=1-x\) và áp dụng BĐT \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) ta được:
\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left[\left(y+z\right)+\left(1-z\right)\right]^2\left(1-y\right)\)
\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)=\left(1+y\right)\left(1-y^2\right)\le1+y\)
\(\Rightarrow4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le1+y=x+2y+z\left(đpcm\right)\)
PA
14 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:
\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
\(=4\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
\(\le\frac{\left(x+y+y+z\right)^2}{4}\times4\left(x+z\right)\)
\(=\left(x+2y+z\right)^2\left(x+z\right)\)
\(\le\left(x+2y+z\right)\times\frac{\left(x+2y+z+x+z\right)^2}{4}\)
\(=\left(x+2y+z\right)\times\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{4}\)
\(=x+2y+z\left(\text{đ}pcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\)
LV
14 tháng 8 2017
Dấu = xảy ra:\(\hept{\begin{cases}x=z=\frac{1}{2}\\y=0\end{cases}}\)
Aps dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số 1-x và 1-x ta có:
\(\dfrac{1-x+1-z}{2}\ge\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(1-z\right)\left(1-x\right)\le\left(\dfrac{1-z+1-x}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4\left(1-z\right)\left(1-x\right)\le\left(1+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)\)
Ta có: \(1-y^2\le1\)
\(\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)=\left(1+y\right)\left(1-y\right)^2=\left(x+2y+z\right)\left(1-y\right)^2\)
Do đó: \(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le x+2y+z\)
Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số 1-x và 1-z ta được:
\(\dfrac{1-x+1-z}{2}\ge\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\text{ ( 1 − x ) ( 1 − z )\le(\dfrac{\text{1 − x + 1 −}z}{2})^2 }\)
\(\Leftrightarrow\text{4 ( 1 − x ) ( 1 − z ) ≤ ( 1 + y ) ^2}\)
\(\Leftrightarrow\text{ 4 ( 1 − x ) ( 1 − z ) ( 1 − y ) ≤ ( 1 + y ) ^2 ( 1 − y )}\)
mặt khác\(\text{ 1 − y ^2 ≤ 1}\)
\(\text{( 1 + y ) ^2 ( 1 − y ) = ( 1 + y ) ( 1 − y ^2) = ( x + 2y + z ) ( 1 − y^2 ) (1+y)^2(1−y)=(1+y)(1−y^2)=(x+2y+z)(1−y^2)}\)Do đó: 4(1−x)(1−y)(1−z)≤x+2y+z