NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TM
1
HP
4 tháng 9 2016
Đặt \(P=x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)+z^4\left(x-y\right)\)
\(P=x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)+z^4\left(x-y\right)\)
\(=x^4\left(y-z\right)+y^4z-y^4x+z^4x-z^4y\)
\(=x^4\left(y-z\right)+y^4z-z^4y-y^4x+z^4x\)
\(=x^4\left(y-z\right)+yz\left(y^3-z^3\right)-x\left(y^4-z^4\right)\)
\(=x^4\left(y-z\right)+yz\left(y-z\right)\left(y^2+yz+z^2\right)-x\left(y-z\right)\left(y^3+y^2z+yz^2+z^3\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left[x^4+yz\left(y^2+yz+z^2\right)-x\left(y^3+y^2z+yz^2+z^3\right)\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left(x^4+y^3z+y^2z^2+yz^3-xy^3-xy^2z-xyz^2-xz^3\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left(x^4-xz^3-xy^3+y^3z-xy^2z+y^2z^2-xyz^2+yz^3\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left[x\left(x^3-z^3\right)-y^3\left(x-z\right)-y^2z\left(x-z\right)-yz^2\left(x-z\right)\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left[x\left(x-z\right)\left(x^2+xz+z^2\right)-y^3\left(x-z\right)-y^2z\left(x-z\right)-yz^2\left(x-z\right)\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left[x\left(x^2+xz+z^2\right)-y^3-y^2z-yz^2\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x^3+x^2z+xz^2-y^3-y^2z-yz^2\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x^3-y^3+x^2z-y^2z+xz^2-yz^2\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left[\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+z\left(x^2-y^2\right)+z^2\left(x-y\right)\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left[\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+z\left(x-y\right)\left(x+y\right)+z^2\left(x-y\right)\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left[x^2+xy+y^2+z\left(x+y\right)+z^2\right]\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+xz+yz+z^2\right)\)
Đặt \(A=x^2+xy+y^2+xz+yz+z^2\)
\(A=\frac{2\left(x^2+xy+y^2+xz+yz+z^2\right)}{2}=\frac{2x^2+2xy+2y^2+2xz+2yz+2z^2}{2}\)
\(=\frac{\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+2yz+z^2\right)+\left(x^2+2xz+z^2\right)}{2}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(x+z\right)^2}{2}\)
=>\(P=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x-y\right).\frac{\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(x+z\right)^2}{2}\)
Ta có: \(x>y>z< =>\hept{\begin{cases}x>y\\y>z\\x>z\end{cases}}< =>\hept{\begin{cases}x-y>0\\y-z>0\\x-z>0\end{cases}}\)
Dễ thấy \(\left(x+y\right)^2\ge0;\left(y+z\right)^2\ge0;\left(x+z\right)^2\ge0\) với mọi x;y;z
\(=>P>0\) (đpcm)
18 tháng 11 2022
Câu 2:
\(\left\{{}\begin{matrix}y+z>=2\sqrt{yz}\\x+z>=2\sqrt{xz}\\x+y>=2\sqrt{xy}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)>=8xyz\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z
TB
0
GS
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 8 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x^4+y^4)(x^2+y^2)\geq (x^3+y^3)^2\)
\((x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2\)
\(\Rightarrow (x^4+y^4)(x^2+y^2)\geq (x^3+y^3).\frac{(x^2+y^2)^2}{x+y}\)
\(\Rightarrow x^4+y^4\geq \frac{(x^3+y^3)(x^2+y^2)}{x+y}\)
\(\Rightarrow \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\geq \frac{x^2+y^2}{x+y}\).
Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopxky: \((x^2+y^2)(1+1)\geq (x+y)^2\Rightarrow \frac{x^2+y^2}{x+y}\geq \frac{x+y}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\geq \frac{x+y}{2}\)
Hoàn toàn TT với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow P\ge \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=2013\)
Vậy $P_{\min}=2013$ khi $x=y=z=671$
3 tháng 7 2017
Bài 2:
a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)
\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)
b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:
\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)
3 tháng 7 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng
11 tháng 7 2016
1) Ta có : \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2xz\end{cases}\Leftrightarrow}2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
2) Áp dụng từ câu 1) ta có : \(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge\left(xy\right)^2+\left(yz\right)^2+\left(zx\right)^2\ge xy^2z+yz^2x+zx^2y=xyz\left(x+y+z\right)\)
3) Bạn cần sửa lại một chút thành \(x^4-2x^3+2x^2-2x+1\ge0\)
Ta có : \(x^4-2x^3+2x^2-2x+1=\left(x^4-2x^3+x^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)=x^2\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)^2\ge0\)