K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NQ
2
DT
27 tháng 7 2016
Ta có đẳng thức:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(A=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow Min_A=\frac{1}{3}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
hoặc bạn áp dụng hệ thức holder á
DT
27 tháng 7 2016
Ta có:
\(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
Mặt khác:
\(\left(xy+yz+zx\right)^2=1\le3\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3}\le\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)
hay \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}\Rightarrow A\ge\frac{1}{3}\)
Vậy \(Min_A=\frac{1}{3}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
HA
0
DT
2
20 tháng 3 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
\(y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\)
\(z^2+x^2\ge2\sqrt{z^2x^2}=2zx\)
\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\)
\(y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\)
\(z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
\(3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(xy+yz+xz+x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\cdot6=12\left(xy+yz+xz+x+y+z=6\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\Leftrightarrow P\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Vậy \(P_{Min}=3\) khi \(x=y=z=1\)
NT
1
20 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(A=x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\left[\left(1^2\right)^2+\left(1^2\right)^2+\left(1^2\right)^2\right]\left[\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left[\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
Lại có BĐT quen thuộc \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\):
\(\Rightarrow3A\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\left(xy+yz+xz\right)^2=1\)
\(\Rightarrow3A\ge1\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
LH
1
G
24 tháng 2 2019
\(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\right)-\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+xz\right)\)
Mặt khác: \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+xz\right)\ge\left(x+y+z\right)^2-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=9-3=6\)
"=" khi a=b=c=1
TN
30 tháng 3 2017
Sửa thành tìm GTLN nhé !
Với x,y,z>0 chia 2 vế của \(xy+yz+xz=xyz\) cho \(xyz\) ta có :
\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{4x+3y+z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)\). Tương tự cho 2 BĐT kia:
\(\frac{1}{x+4y+3z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{3}{z}\right);\frac{1}{3x+y+4z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\leΣ\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)=Σ\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=3\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}(1)\)
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yz+xz}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=9(2)\)
Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM ta có:
\(3(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)^2=1\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{7}{xy+yz+xz}\geq 21(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\geq 9+21=30\)Vậy $P_{\min}=30$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 6 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}(1)\)
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yz+xz}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=9(2)\)
Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM ta có:
\(3(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)^2=1\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{7}{xy+yz+xz}\geq 21(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\geq 9+21=30\)Vậy $P_{\min}=30$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
với mọi x, y, z ta có:
(x-y)^2 +(y-z)^2+ (z-x)^2>=0
<=>2x^2 +2y^2 + 2z^2 - 2xy -2yz - 2xz >=0
<=>x^2 + y^2 +z^2 - xy -yz -zx >=0
<=>(x+y+z)^2 >= 3(x+y+z)
<=>[(x+y+z)^2]/3 >= xy+yz+ zx
=>xy +yz + zx <=3
dấu = xảy ra khi x=y=z =1
tk nha bạn
thank you bạn
(^_^)
le anh tu giỏi quá, làm đúng rồi
Bạn
Hồ Thị Hà Giang làm theo cách của bạn ấy nha
Ai thấy mình nói đúng thì nha