Question

[luyen hong dung]

Cho \(xyz=1\)

Chứng minh \(\frac{x}{y^2+2}+\frac{y}{z^2+2}+\frac{z}{x^2+2}\ge1\)

Phiền các bạn giải giúp mình bài này vs

Answer 1

[NGUYEN NGOC DAT]

Áp dụng bđt Cô si cho 3 số ta đc

\(\frac{x}{y^2+2}+\frac{y}{z^2+2}+\frac{z}{x^2+2}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\left(x^2+2\right)}}\)

\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{27}=}1\)

Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1

p/s : quên cách làm khúc giữa

Answer 2

[NGUYEN NGOC DAT]

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số thực ko âm ta đc :

\(\frac{x}{y^2+2}+\frac{y}{z^2+2}+\frac{z}{x^2+2}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\left(x^2+2\right)}}\)

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{1+2y^2x^2+2z^2x^2+2z^2y^2+4x^2+4z^2+4y^2+8}}\)( phân tích đa thức thành nhân tử )

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{9+\frac{2}{z^2}+\frac{2}{y^2}+\frac{2}{x^2}+4x^2+4z^2+4y^2}}\)( vì \(xyz=1\Rightarrow x^2y^2z^2=1\Rightarrow x^2y^2=\frac{1}{z^2}\)các phân số khác chứng minh tương tự )

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{9+\frac{2+4z^4}{z^2}+\frac{2+4y^4}{y^2}+\frac{2+4x^4}{x^2}}}\)( quy đồng mẫu số  ) ( A )

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số thực ko âm ta được :

\(\frac{2+4z^4}{z^2}+\frac{2+4y^4}{y^2}+\frac{2+4x^4}{x^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(2+4z^4\right)\left(2+4y^4\right)\left(2+4x^4\right)}{x^2y^2z^2}}\) ( 1 )

Ta có :

\(2+4x^4\ge2+4.1^4=6\) ( 2 ) 

\(2+4y^4\ge2+4.1^4=6\) ( vì x^4 , y^4 , z^4 đều là các lũy thừa số mũ chẵn ) ( 3 )

\(2+4z^4\ge2+4.1^4=6\)( 4 ) 

x^2 . y^2 . z^2 = ( xyz )^2 = 1^2 = 1 ( 5 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 )  suy ra :

\(\frac{2+4z^4}{z^2}+\frac{2+4y^4}{y^2}+\frac{2+4x^4}{x^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{6^3}{1}}=18\) ( B )

Thay B vào A ta đc  :

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{9+\frac{2+4z^4}{z^2}+\frac{2+4y^4}{y^2}+\frac{2+4x^4}{x^2}}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{9+18}}=1\)