Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sử dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(x^3+y^2\ge2yx\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2yx\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\)
Tương tự cộng lại suy ra:
\(VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Theo đề ra : x,y,z>0
Nên áp dụng BĐT cô si cho 3 số là 1;1 và x+3y ta được :
\(x+3y+1+1\ge3\sqrt[3]{\left(x+3y\right).1.1}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(x+3y\right).1.1}\le\frac{x+3y+1+1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{x+3y}\le\frac{x+3y+2}{3}\)(1)
Tương tự ta cũng có được :
\(\sqrt[3]{y+3z}\le\frac{y+3z+2}{3}\) (2) \(\sqrt[3]{z+3x}\le\frac{z+3x+2}{3}\)(3)
Ta cộng vế theo vế của (1) ; (2) và (3) ta được: \(\sqrt[3]{x+3y}+\sqrt[3]{y+3z}+\sqrt[3]{z+3x}\le\frac{x+y+z+3\left(x+y+z\right)}{3}=\frac{\frac{3}{4}+3.\frac{3}{4}+6}{3}=3\)
Vậy GTLN của P là 3 khi x=y=z=\(\frac{1}{4}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}=\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xz}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)=\sqrt{3}\cdot\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\right)\)
\(=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\ge\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}}{1}=3\sqrt{3}\)
Khi \(x=y=z=1\)
b, Gọi biểu thức đề ra là B
=> Theo bđt cô si ta có : \(B\ge3\sqrt[3]{\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{z^2}\right)\left(z^2+\frac{1}{x^2}\right)}\)
=> \(B\ge3\sqrt[3]{2\cdot\frac{x}{y}\cdot2\cdot\frac{y}{z}\cdot2\cdot\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{8}=6\)
( Chỗ này là thay \(x^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}=2\cdot\frac{x}{y}\) và 2 cái kia tương tự vào )
=> Min B=6
Theo bđt cô si thì ta có : \(\sqrt{\left(x+y\right)\cdot1}\le\frac{x+y+1}{2}\)
\(\sqrt{\left(z+x\right)\cdot1}\le\frac{z+x+1}{2}\)
\(\sqrt{\left(y+z\right)\cdot1}\le\frac{y+z+1}{2}\)
=> Cộng vế theo vế ta được : \(A\le\frac{2\left(x+y+z\right)+3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu = xảy ra khi : x+y+z=1 và x+y=1 và y+z=1 và x+z=1
=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy ...
\(A=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1}+\frac{2}{z+1}\ge\frac{18}{x+y+z+3}=3\)
Em thử nhá!Ngồi nãy giờ mới tìm được cách ghép-_-" Mà cũng ko chắc đâu..
Theo đề bài dễ thấy x;y >= z
\(BĐT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{z}{y}.\frac{x-z}{x}}+\sqrt{\frac{z}{x}.\frac{y-z}{y}}\le1\)
Áp dụng BĐT Cauchy: \(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{y}+\frac{x-z}{x}+\frac{z}{x}+\frac{y-z}{y}\right)=\frac{1}{2}.2=1^{\left(đpcm\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy 3 số : \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\), ta có :
\(\sqrt[3]{x+3y}=\frac{1}{3}.3.\sqrt[3]{1.1.\left(x+3y\right)}\le\frac{1}{3}\left(1+1+x+3y\right)\)
T.tự : \(\sqrt[3]{y+3z}\le\frac{1}{3}\left(1+1+y+3z\right)\)và \(\sqrt[3]{z+3x}\le\frac{1}{3}\left(1+1+z+3x\right)\)
Suy ra \(P\le\frac{1}{3}\left(1+1+x+3y+1+1+y+3z+1+1+z+3x\right)\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{3}\left[6+4\left(x+y+z\right)\right]=\frac{1}{3}\left(6+4.\frac{3}{4}\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Vậy \(Max_P=3\)