K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
0
MO
0
MO
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 8 2020
\(\frac{x+1}{y^2+1}=\frac{\left(x+1\right)\left(y^2+1\right)-y^2\left(x+1\right)}{y^2+1}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{y^2+1}\ge x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{2y}=x+1-\frac{1}{2}\left(xy+y\right)\)
Thiết lập tương tự và cộng lại ta được:
\(VT\ge x+y+z+3-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx+x+y+z\right)\)
\(VT\ge6-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx+3\right)=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\)
\(VT\ge\frac{9}{2}-\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\frac{9}{2}-\frac{9}{6}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
NT
2
NN
19 tháng 4 2017
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2
⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2
⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=12=1⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=12=1
⇒x2+y2+z2≥13⇒x2+y2+z2≥13
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=13x=y=z=13
b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
(4+1)(4x2+y2)≥(4x+y)2(4+1)(4x2+y2)≥(4x+y)2
⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2
⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2=12=1⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2=12=1
⇒4x2+y2≥15⇒4x2+y2≥15
Đẳng thức xảy ra khi x=y=15x=y=15
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)=2^2-2.1=2\) (đpcm)
Ta có bất đẳng thức phụ sau
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\) với mọi \(x,\) \(y,\) \(z\)
\(\Leftrightarrow\) \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)+x^2+y^2+z^2\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) \(\left(\text{*}\right)\)
Vì \(x+y+z=1\) (theo giả thiết) nên từ \(\left(\text{*}\right)\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\) (đpcm)
troll nhau v