NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
PT
1
KO
29 tháng 12 2015
ta có: (x+y+z)2=0
\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2+2(xy+z+xz)=0
\(\Leftrightarrow\)1+2(xy+yz+xz)=0
\(\Leftrightarrow\)xy+yz+xz=\(\frac{-1}{2}\)
lại có x2.y2+y2.z2+x2.z2=(xy+yz+xz)2-2xyz(x+y+z)=\(\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\)x4+y4+z4=(x2+y2+z2)2-2(x2.y2+y2.z2+x2.z2)=\(1-2.\frac{1}{4}\)=\(\frac{1}{2}\)
vậy x4+y4+z4=\(\frac{1}{2}\)
(tick nka)
MO
0
VQ
2
31 tháng 1 2022
\(\text{Cho:}x^2+y^2+z^2=1\text{.Chứng minh rằng:}\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{z+2y}\ge\frac{1}{3}\)
\(\text{Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương, ta có:}\)
\(\frac{9x^3}{y+2z}+x\left(y+2z\right)\ge6x^2;\frac{9y^3}{z+2x}+y\left(z+2x\right)\ge6y^2;\frac{9z^3}{x+2y}+z\left(x+2y\right)\ge6z^3\)
\(\text{Lại có:}\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\text{Do đó:}\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}+3\left(xy+yz+zx\right)\ge6\left(x^2+y^2+x^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)-3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\text{Dấu "=" xảy ra }\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
VQ
31 tháng 1 2022
cho minh hoi phan bat dang thuc cosi la ban dung cong thuc the nao ak
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)=2^2-2.1=2\) (đpcm)
AS
1
5 tháng 5 2017
\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+x+y+z=x+y+z\)
\(\Rightarrow Q=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+y}+\frac{z^2}{x+y}=0\) (dpcm)
TT
1
11 tháng 8 2017
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)\(\Rightarrow xy+yz+xz=0\) (nhân cả hai vế với \(xyz\) )
Ta có : \(VP=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xy\)
\(=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=x^2+y^2+z^2=VT\)(đpcm)
tìm trc khi hỏi
[Toán 9] Phương trình vô tỉ - Bất đẳng thức - Số nguyên tố | Diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng học tập lớn nhất Việt Nam
Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: Chứng minh rằng: - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán
CM: $x^2+y^4+z^6\leqslant 2$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
Chứng minh rằng: $ x^2+y^4+z^6 \le 2 $ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học