Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : Áp dụng BĐT Cauchy ba số ở mẫu ta được
\(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{y+z+1}{3}}+\dfrac{y}{\dfrac{x+z+1}{3}}+\dfrac{z}{\dfrac{x+y+1}{3}}=\dfrac{3x}{y+z+1}+\dfrac{3y}{x+z+1}+\dfrac{3z}{x+y+1}\)Thấy: \(xy+yz+xz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\left(?!\right)\)
Ta phải chứng minh:
\(\dfrac{3x}{y+z+1}+\dfrac{3y}{x+z+1}+\dfrac{3z}{x+y+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\dfrac{x}{y+z+1}+\dfrac{y}{x+z+1}+\dfrac{z}{x+y+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{9}\)
Mà \(\dfrac{x}{y+z+1}+\dfrac{y}{x+z+1}+\dfrac{z}{x+y+1}=\dfrac{x^2}{xy+xz+x}+\dfrac{y^2}{xy+yz+y}+\dfrac{z^2}{xz+yz+z}\)
Theo C.B.S
\(\dfrac{x^2}{xy+xz+x}+\dfrac{y^2}{xy+yz+y}+\dfrac{z^2}{xz+yz+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
Phải chứng minh
\(\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{1}{9}\)
Ta có : \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2=3\)
Theo C.B.S : \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le9\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{1}{9}\)
=> ĐPCM
cho x,y,z>0 thỏa mãn:\(x^2+y^2+z^2=3.\)chứng minh:
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\ge3\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(S=\frac{1}{x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{16z}=\frac{1}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{\frac{1}{16}}{z}\ge\frac{\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)^2}{x+y+z}=\frac{\frac{49}{16}}{1}=\frac{49}{16}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{16}{21}\\y=\frac{4}{21}\\z=\frac{1}{21}\end{cases}}\). Vậy GTNN của S = 49/16
Giá trị lớn nhất là 1
1