Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có : 1 = (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2.(xy+yz+zx)
Mà x^2+y^2+z^2 = 1 => 2.(xy+yz+zx) = 0 <=> xy+yz+zx = 0 <=> (xy+yz+zx).(x+y+z) = 0
Lại có : 1 = (x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3+6xyz+3.(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2)
Mà x^3+y^3+z^3 = 1 => 6xyz+3.(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2) = 0
<=> 0 = 6xyz+3.[xy.(x+y)+yz.(y+z)+zx.(z+x)] = 6xyz+3.[xy.(1-z)+yz.(1-x)+zx.(1-y)] = 6xyz+3.(xy+yz+zx-3xyz)
= 6xyz+3.(0-3xyz) = 6xyz-9xyz
<=> -3xyz = 0
<=> xyz = 0
<=> xyz=(xy+yz+zx).(x+y+z)
<=> (xy+yz+zx).(x+y+z)-xyz = 0
<=> x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+2xyz = 0
<=> (x+y).(y+z).(z+x) = 0
<=> x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x=0
<=> x=-y hoặc y=-z hoặc z=-x
Đến đó bạn xét từng trường hợp mà cm nha
a, x^3-y^2-y=1/3
=> x^3 = y^2+y+1/3 = (y^2+y+1/4)+1/12 = (y+1/2)^2+1/12 > 0
=> x > 0
Tương tự : y,z đều > 0
Tk mk nha
ta có hpt
<=>\(\hept{\begin{cases}x^3=\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\\y^3=\left(z+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\\z^3=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\end{cases}}\)
Vì vai trò x,y,z như nhau và x,y,z đều >0 ( câu a)
Giả sử \(x\ge y\Rightarrow x^3\ge y^3\Rightarrow\left(y+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(z+\frac{1}{2}\right)^2\) (1)
=>\(y+\frac{1}{2}\ge z+\frac{1}{3}\)
=>\(y\ge z\) (2)
với y>= z, từ pt(2) =>z>=x (3)
Từ 91),(2),(3)
=> x=y=z>0 (ĐPCM)
Với x=y=z>0, thay vào pt(1), Ta có
\(x^3-x^2-x-\frac{1}{3}=0\Leftrightarrow3x^3-3x^2-3x-1=0\)
<=>\(4x^3=x^3+3x^2+3x+1\Leftrightarrow4x^3=\left(x+1\right)^3\)
<=>\(\sqrt[3]{4}x=x+1\Leftrightarrow x\left(\sqrt[3]{4}-1\right)=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{4}-1}\)
Vãi cả lớp 8 học hệ pt , lạy mấy e rồi đó, :V
^_^
đây là bài bất IMO 2008
Đặt \(a=\frac{x}{x-1};b=\frac{y}{y-1};c=\frac{z}{z-1}\)từ đó giả thiết trở thành
\(abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)Suy ra được : \(a+b+c-ab-bc-ca=1\)
Bài toán bây giờ trở thành chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c-ab-bc-ca\right)-1\)
\(< =>\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy ta có điều phải chứng minh