Question

[võ dương thu hà]

cho x,y,z thuộc số thực dương thõa mãn: x+y+z+xy+yz+zx=6. chứng minh: x^2+y^2+z^2>=3

Answer 1

[Tuấn]

ĐẶt  \(A=x^2+y^2+z^2\Rightarrow4A-12=4\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow3A-12=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2-3\)
\(\Rightarrow3A\ge9\Rightarrow A\ge3\)
dấu= xảy ra khi x=y=z=1

Answer 2

[Mr Lazy]

Sử dụng các bđt cơ bản

\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\ge xy+yz+zx\)