Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{3x^2}{2}+y^2+z^2+yz=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}x^2+\left(y+\dfrac{z}{2}\right)^2+\dfrac{3z^2}{4}=1\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(\dfrac{2}{3}+1+\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{3}{2}x^2+\left(y+\dfrac{z}{2}\right)^2+\dfrac{3z^2}{4}\right)\ge\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{2}x^2}+\sqrt{1.\left(y+\dfrac{z}{2}\right)^2}+\sqrt{\dfrac{1}{3}.\dfrac{3z^2}{4}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2.1\ge\left(x+y+\dfrac{z}{2}+\dfrac{z}{2}\right)^2=\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)
\(\frac{3x^2}{2}+y^2+z^2+yz=1\)
\(\Leftrightarrow3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)
⇔3x2+2y2+2z2+2yz=2⇔3x2+2y2+2z2+2yz=2
⇒2≥3x2+2y2+2z2+y2+z2⇒2≥3x2+2y2+2z2+y2+z2
⇔2≥3(x2+y2+z2)⇔2≥3(x2+y2+z2)
Có: (x+y+z)2≤3(x2+y2+z2)≤2(x+y+z)2≤3(x2+y2+z2)≤2
⇒⇒A2≤2A2≤2 ⇔A∈[−√2;√2]⇔A∈[−2;2]
minA=-1⇔⇔{x+y+z=−√2x=y=z{x+y+z=−2x=y=z ⇒x=y=z=−√23⇒x=y=z=−23
maxA=1⇔{x+y+z=√2x=y=z⇔{x+y+z=2x=y=z ⇒x=y=z=√23
Ta đã từng chứng minh \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
CM như sau: Nhân hai vế cho 2 được \(2x^2+2y^2+2z^2\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=12\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge12^2=144\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge144\) (1)
Mặt khác: \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
\(\Rightarrow\)\(2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\) (2)
Cộng vế theo vế ta được: \(2\left(x^4+y^4+z^4\right)-2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge144\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge144\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge48\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=2
Vậy Mmin = 48 <=> x=y=z=2
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1)
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)²
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9
<--> x² + y² + z² ≥ 3
--> M ≥ 3
--> min M = 3 khi x = y = z = 1
x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1