Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
Chứng minh rằng : \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2+9}{x+y+z}\ge6\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
Chứng minh rằng : \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
Chứng minh rằng \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y+z\right)^2+9}{x+y+z}\ge6\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\) ( đpcm )
Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
BĐT cần chứng minh tương đương
\(VT\ge4\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge4\left(x+y+z\right)\)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có:
\(\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge\dfrac{\left(y+z\right)\left(x+\sqrt{yz}\right)}{x}=y+z+\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge y+z+\dfrac{2yz}{x}\)
Suy ra: \(\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge2\left(x+y+z\right)-2\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\right)\)
Mặt khác, theo AM-GM:
\(\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge4\left(x+y+z\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
@Phương An
Lời giải:
Ta thấy:
\(x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{4}(x^2-2xy+y^2)=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\)
\(\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\) với mọi $x,y>0$
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(y+z); \sqrt{z^2+zx+x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+z)\)
Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn:
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
Bài 2 : đã cm bên kia
Bài 1: :|
we had điều này:
\(2=\frac{2014}{x}+\frac{2014}{y}+\frac{2014}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-2014}{x}+\frac{y-2014}{y}+\frac{z-204}{z}=1\)
Xòng! bunyakovsky
P/s : Bệnh lười kinh niên tái phát nên ít khi ol sorry :<
\(x^2+y^2+z^2\)
\(=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{y^2+z^2}{2}+\frac{z^2+x^2}{2}\)
\(\ge xy+yz+zx\)
\(=\frac{xy+yz}{2}+\frac{yz+zx}{2}+\frac{zx+xy}{2}\)
\(\ge\frac{2\sqrt{xy^2z}}{2}+\frac{2\sqrt{xyz^2}}{2}+\frac{2\sqrt{x^2yz}}{2}\)
\(=\sqrt{xyz}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)