K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

28 tháng 7 2016

\(Q=\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)\left(1+\frac{\alpha}{y}\right)\left(1+\frac{\alpha}{z}\right)=\left(\frac{\alpha+x}{x}\right)\left(\frac{\alpha+y}{y}\right)\left(\frac{\alpha+z}{z}\right)\)

Mà  \(\alpha=x+y+z\)  (theo gt) nên ta có thể viết  \(Q\)  như sau:

\(Q=\left(\frac{2x+y+z}{x}\right)\left(\frac{x+2y+z}{y}\right)\left(\frac{x+y+2z}{z}\right)=\left(2+\frac{y+z}{x}\right)\left(2+\frac{x+z}{y}\right)\left(2+\frac{x+y}{z}\right)\)

Đặt  \(a=\frac{y+z}{x};\)  \(b=\frac{x+z}{y};\)  và  \(c=\frac{x+y}{z}\)  \(\Rightarrow\)  \(a,b,c>0\)

Khi đó, biểu thức  \(Q\)  được biểu diễn theo ba biến  \(a,b,c\)  như sau:

\(Q=\left(2+a\right)\left(2+b\right)\left(2+c\right)=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc+8\)

\(\Rightarrow\)  \(Q-8=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc\)

Mặt khác, ta lại có:

\(a+b+c=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\)

nên   \(a+b+c+3=\frac{y+z}{x}+1+\frac{x+z}{y}+1+\frac{x+y}{z}+1\)

\(\Rightarrow\) \(a+b+c+3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Lại có:   \(\hept{\begin{cases}x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\text{ (1)}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\text{ (2)}\end{cases}}\)   (theo bđt  \(Cauchy\)  lần lượt cho hai bộ số gồm các số không âm)

Nhân hai bđt  \(\left(1\right);\)  và  \(\left(2\right)\)  vế theo vế, ta được bđt mới là:

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)

Theo đó,  \(a+b+c+3\ge9\)  tức là  \(a+b+c\ge6\)

\(\Rightarrow\)  \(4\left(a+b+c\right)\ge24\)  \(\left(\alpha\right)\)

Bên cạnh đó, ta cũng sẽ chứng minh  \(abc\ge8\)  \(\left(\beta\right)\)

Thật vậy, ta đưa vế trái bđt cần chứng minh thành một biểu thức mới.

\(VT\left(\beta\right)=abc=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8=VP\left(\beta\right)\)

Vậy, bđt  \(\left(\beta\right)\)  được chứng minh.

Từ đó, ta có thể rút ra được một bđt mới.

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge3\sqrt[3]{8^2}=12\) (theo cách dẫn trên)

\(\Rightarrow\) \(2\left(ab+bc+ca\right)\ge24\)  \(\left(\gamma\right)\)

Cộng từng vế 3 bđt  \(\left(\alpha\right);\)  \(\left(\beta\right)\)  và  \(\left(\gamma\right)\), ta được:

\(Q-8\ge24+8+24=56\)

Do đó,  \(Q\ge64\)

Dấu   \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b=c\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=z=2\)

Vậy,  \(Q_{min}=64\)  khi  \(\alpha=6\)

12 tháng 8 2016

a, Từ x+y=1

=>x=1-y

Ta có: \(x^3+y^3=\left(1-y\right)^3+y^3=1-3y+3y^2-y^3+y^3\)


\(=3y^2-3y+1=3\left(y^2-y+\frac{1}{3}\right)=3\left(y^2-2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)\)

\(=3\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\right]=3\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\) với mọi y

=>GTNN của x3+y3 là 1/4

Dấu "=" xảy ra \(< =>\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0< =>y=\frac{1}{2}< =>x=y=\frac{1}{2}\) (vì x=1-y)

Vậy .......................................

b) Ta có: \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{y+x}\)

\(=\left(\frac{x^2}{y+z}+x\right)+\left(\frac{y^2}{z+x}+y\right)+\left(\frac{z^2}{y+z}+z\right)-\left(x+y+z\right)\)

\(=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{y+z}-\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\)

Đặt \(A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}\)

\(A=\left(\frac{x}{y+z}+1\right)+\left(\frac{y}{z+x}+1\right)+\left(\frac{z}{y+x}+1\right)-3\)

\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{y+x}-3\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+x}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)

(phần này nhân phá ngoặc rồi dùng biến đổi tương đương)

\(=>P=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\ge2\left(\frac{3}{2}-1\right)=1\)

=>minP=1

Dấu "=" xảy ra <=>x=y=z

Vậy.....................

16 tháng 8 2019

Tham khảo tại đây: Câu hỏi của dbrby - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

30 tháng 7 2016

Đề gốc là \(P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)

\(\frac{P}{4}=\frac{x}{2.2\sqrt{y}}+\frac{y}{2.2\sqrt{z}}+\frac{z}{2.2\sqrt{x}}\)

Áp dụng BĐT Côsi:

\(2.2.\sqrt{x}\le x+2^2=x+4\)

\(\Rightarrow\frac{P}{4}\ge\frac{x}{y+4}+\frac{y}{z+4}+\frac{z}{x+4}=\frac{x^2}{xy+4x}+\frac{y^2}{yz+4y}+\frac{z^2}{zx+4z}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+zx+4\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2+4\left(x+y+z\right)}=\frac{3\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)+12}\)

\(=3-\frac{36}{x+y+z+12}\ge3-\frac{36}{12+12}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge6\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=4\)

18 tháng 8 2019

a) Từ đề bài có: \(x\left(x-1\right)\le0\Rightarrow x^2\le x\)

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế suy ra:

\(M=x+y+z-3\ge x^2+y^2+z^2-3=-2\)

Đẳng thức xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó

Is it true?

18 tháng 8 2019

\(4\le\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1\le\sqrt{2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{2}+1\)

\(\Leftrightarrow\)\(8\le x+y+2\sqrt{x+y}\sqrt{2}+2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\ge\sqrt{8}\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge\left(\sqrt{8}-\sqrt{2}\right)^2=2\)

\(\Rightarrow\)\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Thiếu chứng minh điều kiện bằng j bạn ơi

16 tháng 8 2019

ban ghi ro de bai duoc ko ? mik ko hieu de bai