Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo AM - GM và Bunhiacopski ta có được
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
Khi đó \(LHS\ge\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2\right]\left[\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{z^2}\right]\)
\(\)\(=\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\right]\left[8+\left(\frac{x+y}{z}\right)^2\right]\)
Đặt \(t=\frac{z}{x+y}\ge1\)
Khi đó:\(LHS\ge\left(\frac{1}{2}+t^2\right)\left(8+\frac{1}{t^2}\right)=8t^2+\frac{1}{2t^2}+5\)
\(=\left(\frac{1}{2t^2}+\frac{t^2}{2}\right)+\frac{15t^2}{2}+5\ge\frac{27}{2}\)
Vậy ta có đpcm
Ta có:
\(VT-VP=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\Sigma xy\right)\left(\Sigma x\right)\left[z\left(x+y\right)-xy\right]\left(z-x-y\right)}{x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x-y\right)^2\left(2x+y\right)^2\left(x+2y\right)^2}{2x^2y^2\left(x+y\right)^2}\ge0\)
Vì \(z\left(x+y\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-xy\ge4xy-xy>0\)
\(\text{Ta có:}\)
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\left(x,y,z>0\right)\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{3}{\frac{x+y+z}{3}}=\frac{9}{x+y+z}\)
\(\frac{y+z+5}{1+x}+\frac{z+x+5}{1+y}+\frac{x+y+5}{1+z}\)
\(=\frac{x+y+z+6}{1+x}+\frac{x+y+z+6}{1+y}+\frac{x+y+z+6}{1+z}-3\)
\(=\frac{24}{1+x}+\frac{24}{1+y}+\frac{24}{1+z}-3\ge\frac{51}{7}\Leftrightarrow\frac{24}{1+x}+\frac{24}{1+y}+\frac{24}{1+z}\ge\frac{72}{7}\)
\(24\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\ge24\left(\frac{9}{x+1+y+1+z+1}\right)\)
\(=24\left(\frac{9}{21}\right)=\frac{24.9}{21}=\frac{8.9}{7}=\frac{72}{7}\)
Bài toán đã được chứng minh
\(\text{Thêm dấu "=" xảy ra khi: x=y=z=6 nha! =((}\)
Bổ đề: \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x,y>0\)
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]^2}{2}=\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(1+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
(Cứ thấy sao sao?x + y = 1 = > x = y = 1/2)
Với ĐK : x + y = 1 ... , chỉ có x = y = 1/2 (cái nài là STP mà có phải SD đâu??)
Chia làm 2TH
\(N>\frac{25}{2}\); TH2 : \(N=\frac{25}{2}\)
\(N=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+1\div1\div2\right)^2+\left(\frac{1}{2}+1\div1\div2\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+1\div2\right)^2+\left(\frac{1}{2}+1\div2\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(1\right)^2+\left(1\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=2\ge\frac{25}{2}\)
----------------------------
\(N=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
Tương tự như trên :\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\ge\frac{25}{2}\)
Chẳng khác gì phía trên,mà 25 / 2 = 25 : 2 = 12 , 5 . Lại còn x , y là số dương .
[Trình mình thì chẳng CM được cái này(vì không CM được)]
ai giải giúp bạn này đi TT mik cũng muốn xem lời giải bài này
Câu 1: Đặt bt là A>0 ta có:
\(2A=3-\frac{a^2b}{2+a^2b}-\frac{b^2c}{2+b^2c}-\)\(\frac{c^2a}{2+c^2a}\)
Áp dụng bđt Cosi ta đc \(2A\ge3-\frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{a^4b^2}+\sqrt[3]{b^4c^2}+\sqrt[3]{c^4a^2}\right)\)
\(\ge3-\frac{1}{3}\left(\frac{2ab+a^2}{3}+\frac{2bc+b^2}{3}+\frac{2ca+c^2}{3}\right)\)\(=3-\frac{1}{3}\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)=3-3\cdot\frac{1}{3}=2\)
\(\Rightarrow A\ge1\)
3 + (x²/y² + y²/x²) + (x²/z² + y²/z²) + (z²/x² + z²/y²)
x²/y² + y²/x² ≥ 2 (Theo AM - GM)
Nên A ≥ 5 + (x²/z² + y²/z²) + (z²/x² + z²/y²)
Sử dụng 2 BĐT quen thuộc sau:
a² + b² ≥ (1/2)*(a + b)²
1/a + 1/b ≥ 4/(a + b)
Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Nghệ An năm 2014
https://thi.tuyensinh247.com/de-thi-vao-lop-10-mon-toan-tinh-nghe-an-nam-2014-c29a17566.html
Vào đó xem cho nó full :)))
Áp dụng BĐT Cauhy-Schwarz ta có:
\(A=x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2}{3}=\frac{\frac{1}{9}}{3}=\frac{1}{27}\)
Xảy ra khi x=y=z=1/3