Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
nghiện garena ff à cho xin kb nick được ko ạ có thể ghi số id
Với x, y, z >0, Có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
=> Đặt: x + y+z =t => \(t\ge3\)
\(A=\frac{x^2}{1+x}+\frac{y^2}{1+y}+\frac{z^2}{1+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+x+y+z}\)
\(=\frac{t^2}{t+3}=t-3+\frac{9}{t+3}\)
\(=\left(\frac{t+3}{4}+\frac{9}{t+3}\right)+\frac{3\left(t+3\right)}{4}-6\ge2\sqrt{\frac{t+3}{4}.\frac{9}{t+3}}+3.\frac{\left(3+3\right)}{4}-6\)
\(=2.\frac{3}{2}+\frac{9}{2}-6=\frac{3}{2}\)
"=" xảy ra <=> x = y = z =1
Cho x,y,z>0; \(x^2+y^2+z^3=\frac{5}{3}\)
CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\le\frac{1}{xyz}\)
Từ giả thiết , ta có :
\(xyz=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\left(1\right)\)
\(\Rightarrow1=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)\left(\frac{1}{z}-1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức sau : \(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\) ta có :
\(1=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)\left(\frac{1}{z}-1\right)\le\left(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-3}{3}\right)^3\)
\(\Rightarrow3\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-3\)
\(\Rightarrow6\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow6xyz\le xy+yz+zx\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra:
\(3-3\left(x+y+z\right)+3\left(xy+yz+zx\right)=6xyz\le xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow0\ge3-3\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\)
Cộng 2 vế của bất đẳng thức trên cho \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\)ta được:
\(x^2+y^2+z^2\ge\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z+3\right)=\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
ta có:
xyz=(1-x).(1-y).(1-z) (1)
=>1=(1:x-1).(1:y-1).(1:z-1)
Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Vơi x.y >= 0 ta có \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) (*)
Thật vậy: (*) <=> \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y.\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right).x\left(1+y^2\right)-\left(y-x\right).y\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right).\left(x\left(1+y^2\right)-y\left(1+x^2\right)\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)\left(xy\left(y-x\right)-\left(y-x\right)\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
Luôn đúng vì: x; y > = 1 nên tích x.y > = 1 ....
Áp dụng (*) ta có:
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{1+xz}\)
\(\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+yz}\)
=> \(2.\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\right)\ge2.\left(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{xz}\right)\ge2.\left(\frac{1}{1+xyz}+\frac{1}{1+xyz}+\frac{1}{xyz}\right)\)
Vì xy x; y ; z > = 1 nên x.y .z > = x.y ; y.z; z.x
=> \(\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\right)\ge\frac{3}{1+xyz}\)