Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y-z\right)^2+\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z-x\right)^2+\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Lời giải:
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{8^2}{4x+3y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{64}{4x+3y+z}\)
Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại:
\(\frac{4}{y}+\frac{3}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{64}{4y+3z+x}\)
\(\frac{4}{z}+\frac{3}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{64}{3x+y+4z}\)
Cộng theo vế: \(8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge64\left(\frac{1}{4x+3y+z}+\frac{1}{x+4y+3z}+\frac{1}{3x+y+4z}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4x+3y+z}+\frac{1}{x+4y+3z}+\frac{1}{3x+y+4z}\le\frac{1}{8}\)
Vậy GT:N của biểu thức là \(\frac{1}{8}\) khi \(x=y=z=3\)
\(P=\frac{9}{1-2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2}{xyz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}\)
\(=\frac{9}{x^2+y^2+z^2}+\frac{6\sqrt[3]{xyz}}{xyz}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2}+\frac{18}{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\)
\(\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2}+\frac{36}{2\left(xy+yx+xz\right)}\ge9\left(\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{2^2}{2\left(xy+yz=xz\right)}\right)\)
\(\ge\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2=81}\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1/3
Đề có vấn dề thì phải căn thứ 2 ấy
Bài này CHTT có thìphair
Nhân thêm và, dùng Cauchy
\(1\sqrt{x-1}=\sqrt{1\left(x-1\right)}\le\frac{x}{2}\). Tương tự với y thì nhân 2; với z thì nhân 3
\(\frac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\)
Ta có: \(\sqrt{x-1}\le\frac{1+x-1}{2}=\frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{1}{2}\)
Chứng minh tương tự ta được: \(\frac{\sqrt{y-2}}{y}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\frac{\sqrt{z-3}}{z}\le\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Suy ra: \(\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
Vậy GTLN của biểu thức = \(\frac{1}{2}.\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}\)
\(=>A=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)
áp dụng BĐT AM-GM
\(=>\sqrt{x-1}\le\dfrac{x-1+1}{2}=\dfrac{x}{2}\)
\(=>\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{\dfrac{x}{2}}{x}=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\)
có \(\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}=\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)2}}{\sqrt{2}.y}\)
\(=>\sqrt{\left(y-2\right)2}\le\dfrac{y-2+2}{2}=\dfrac{y}{2}\)
\(=>\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)2}}{\sqrt{2}.y}\le\dfrac{\dfrac{y}{2}}{\sqrt{2}.y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\right)\)
tương tự \(=>\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left(3\right)\)
(1)(2)(3)\(=>A\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)