Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhicopxki ta có :
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge\left(x.\frac{1}{4x}+y.\frac{1}{2y}+z.\frac{1}{z}\right)^2=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2\)
\(=\frac{49}{16}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{1}{7}};y=\sqrt{\frac{2}{7}};z=\sqrt{\frac{4}{7}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)
Khi đó \(\frac{1}{4x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{3x^2+x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{3x^2+3}\)
Viết lại BĐT cần chứng minh như sau:
\(\frac{1}{3x^2+3}+\frac{1}{3y^2+3}+\frac{1}{3z^2+3}\le\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\le\frac{3}{2}\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{1}{x^2+1}\le-\frac{1}{2}x+1\)
\(\Leftrightarrow-\frac{x\left(x-1\right)^2}{2\left(x^2+1\right)}\ge0\) *luôn đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{y^2+1}\le-\frac{1}{2}y+1;\frac{1}{z^2+1}\le-\frac{1}{2}z+1\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)+3=-\frac{3}{2}+3=\frac{3}{2}=VP\)
Xảy ra khi x=y=z=1
Cho mih hỏi bđt phụ đó là sao, có thể CM giùm mih đc hok
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của hoangchau - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Hoặc
Câu hỏi của Dang Quốc Hung - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có ;
\(M=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^2}{y^2}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}\)
hay \(M\ge\frac{49}{16}\)
Vậy \(M_{min}=\frac{49}{16}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(\frac{1}{4x^2}=\frac{1}{2y^2}=\frac{1}{z^2}\)
hay
\(x=\sqrt{\frac{1}{7}};y=\sqrt{\frac{2}{7}};z=\sqrt{\frac{4}{7}}\)
t lắm tắt luôn nhé có nhiều câu quá
áp dụng bdt cô si ta có
a) \(x+y+z+\frac{1}{xyz}\ge4\sqrt[4]{\frac{1.xyz}{xyz}}=4\)
vậy Min của T là 4 dấu = xảy ra khi x=y=z=1
b)
áp dụng BDT cosi ta có
\(x+y+Z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\frac{3}{xyz}+3xyz\ge2\sqrt{\frac{3.3xyz}{xyz}}=6\)
+ vế với vế ta được
\(T+3xyz\ge3\sqrt[3]{xyz}+6\)
\(T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3xyz\)
có \(xyz\le\frac{\left(x+y+Z\right)^2}{27}\Rightarrow-xyz\ge-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{27}\) cùng dấu > thay vào được
\(T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\)
Có \(x^2+1\ge2x\)
\(y^2+1\ge2y\)
\(z^2+1\ge2z\) (cosy)
+ vế với vế ta được
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(3\ge\left(x+y+z\right)\Rightarrow-\left(x+y+z\right)\ge-3\) cùng dấu > ta thay được
\(\Rightarrow T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3\frac{\left(3\right)^3}{27}\)
\(\Rightarrow T\ge6\) dấu = xảy ra khi x=y=z=1
3) dự đoán của chúa pain x=y=z = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
thử thay vào
\(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}^3}}\)
số xấu lắm m tự làm đi tương tự câu 1) 2)
1) dự đoán của chúa Pain x=y=z=1
áp dụng BDT cô si ta có
\(x+y+z+\frac{1}{xyz}\ge4\sqrt[4]{\frac{xyz}{xyz}}=4.\)
Vậy Min là 4 dấu = xảy ra khi x=y=z=1
2 chia cả tử cả mẫu cho \(x^2+y^2+z^2=3\) ta được
\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{3}{xyz}\)
thay số ta được
\(\left(x+y+z+\frac{x}{yz}+\frac{z}{xy}+\frac{y}{zx}\right)\)
áp dụng Cô si ta được
\(VT\ge6\sqrt[6]{\frac{x^2y^2z^2}{y^2z^2x^2}}=6\)
vậy Min là 6 dấu = xảy ra khi x=y=z=1
3) TƯỢNG TỰ cậu 2
chia xyz cho 2 vế
\(x^2+y^2+z^2=1\)
ta được
\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{1}{xyz}\)
thay số
\(\left(x+y+z\right)+\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta được
\(\left(\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}+\frac{y}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}+\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}\right)+\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\ge....\)
tự làm
Bài 1: \(T=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
\(=\frac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left[y^3+\left(x+y\right)^3\right]}}\)
\(=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)
\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
\(\Rightarrow T\ge1\)
Bài 2:
[Toán 10] Bất đẳng thức | Page 5 | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam
à đúng rồi mình xin lõi \(A=x^2\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{y^2+z^2}{x^2}\right)\)
\(P=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}\)
Áp dụng Bđt Cauchy-schwarz dạng engel ta có:
\(P\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{49}{16}\)
Dấu = khi \(\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{4}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{1}{7}\end{cases}}\)
Vậy...
Cách khác không dùng Cauchy Schwarz
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\ge\frac{49}{16}\)
\(\Leftrightarrow P'=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{16}{z}\ge49\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\frac{1}{x}+49x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot49}=14\)
\(\frac{4}{y}+49y\ge2\sqrt{\frac{4}{y}\cdot49y}=28\)
\(\frac{16}{z}+49z\ge2\sqrt{\frac{16}{z}\cdot49z}=56\)
\(\Rightarrow P'+49\left(x+y+z\right)\ge98\)
\(\Rightarrow P'\ge49\)
Sửa đề: \(T=\frac{x}{1+4y^2}+\frac{y}{1+4z^2}+\frac{z}{1+4x^2}\)
\(T=x-\frac{4xy^2}{1+4y^2}+y-\frac{4yz^2}{1+4z^2}+z-\frac{4zx^2}{1+4x^2}\)
\(T\ge x+y+z-\frac{4xy^2}{4y}-\frac{4yz^2}{4z}-\frac{4zx^2}{4x}\)
\(T\ge\frac{3}{2}-\left(xy+yz+zx\right)\ge\frac{3}{2}-\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)