Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xyz}=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)(vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0\))
Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{x+y+z}=2\) .
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x+y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Từ đó suy ra P = 0 (lí do vì x,y,z là các số mũ lẻ)
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
Ta có: \(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y-2xy}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=1\)
\(\Rightarrow x+y-2xy=xy-x-y+1\)
\(\Rightarrow2\left(x+y\right)-1=3xy\)
Lại có: \(P=x+y+\sqrt{x^2-xy+y^2}\)
\(=x+y+\sqrt{\left(x+y\right)^2-3xy}\)
\(=x+y+\sqrt{\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1}\)
\(=x+y+\sqrt{\left(x+y-1\right)^2}\)
Mặt khác: \(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1\); \(0< x;y< 1\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x-1}< 1\)
\(\Rightarrow x< \frac{1}{2}\)
Tương tự: \(y< \frac{1}{2}\)
=> x+y <1
Do đó P=1
1) \(x^2+y=y^2+x\Leftrightarrow x^2-y^2-\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=x\\y=1-x\end{cases}}\). Vì x,y là hai số khác nhau nên ta loại trường hợp x = y. Vậy ta có y = x-1.
\(P=\frac{x^2+\left(1-x\right)^2+x\left(1-x\right)}{x\left(1-x\right)-1}=\frac{x^2+x^2-2x+1-x^2+x}{-x^2+x-1}\)
\(=\frac{x^2-x+1}{-\left(x^2-x+1\right)}=-1\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b
\(gt\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=6\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)thì \(P=a^2+b^2+c^2\)và \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)
Giải:
Ta có: \(x^2+1\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x\)
Tương tự rồi cộng theo vế ta được: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2)
Cộng (1), (2) theo vế ta được:
\(3P+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=2\cdot6=12\)
\(\Rightarrow3P\ge9\Leftrightarrow P\ge3\)
MinP = 3 khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1