Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(4x+2y+2z-4\sqrt{xy}-4\sqrt{xz}+2\sqrt{yz}-10\sqrt{z}-6\sqrt{y}+34=0\)
\(\Rightarrow\left(4x-4\sqrt{xy}-4\sqrt{xz}+y+z+2\sqrt{yz}\right)+\left(y-6\sqrt{y}+9\right)+\left(z-10\sqrt{z}+25\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(2\sqrt{x}-\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-5\right)^2+\left(\sqrt{y}-3\right)^2=0\)
\(\hept{\begin{cases}\left(2\sqrt{x}-\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-3\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-5\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=16\\y=9\\z=25\end{cases}}\)
Thay vào M,ta được
\(M=\left(16-15\right)^9+\left(9-8\right)^6+\left(25-24\right)^{2018}=3\)
Hình như đề phải là \(\left(z-24\right)^{2018}\)
(4x + 2y + 2z - \(\sqrt{4xy}-\sqrt{4xz}+2\sqrt{yz}\) )+(y - \(6\sqrt{y}\) + 9)+(z- \(10\sqrt{z}\) + 25) = 0
<=> (\(2\sqrt{x}-\sqrt{y}-\sqrt{z}\))2 + (\(\sqrt{y}-3\))2 + (\(\sqrt{z}-5\))2 = 0 (1)
Vì VP \(\ge0\) => để (1) có n0 thì
\(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x}-\sqrt{y}-\sqrt{z}=0\left(x\right)\\\sqrt{y}-3=0\left(xx\right)\\\sqrt{z}-5=0\left(xxx\right)\end{matrix}\right.\)
Từ(xx) => \(\sqrt{y}=3\) <=> y = 9
Từ (xxx) => \(\sqrt{z}=5\) <=> z = 25
Từ (x) => \(2\sqrt{x}=8\) <=> \(\sqrt{x}=4\) <=> x = 16
=> M = (16 - 15)2 + (9 - 8)2 + (25 - 24)2 = 1 + 1 + 1 = 3
Xem lại cái đề đi Tuyển. Hình như giá trị nhỏ nhất của cái biểu thức dưới còn lớn hơn là 1 thì làm sao bài đó có giá trị x, y, z thỏa được mà bảo tính A.
Ta có \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\Rightarrow4x+4y+4z+4\sqrt{xyz}=16\)
Ta lại có \(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x\left(16-4y-4z+yz\right)}=\sqrt{x\left(4x+4\sqrt{xyz}+yz\right)}=\sqrt{4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(2x+\sqrt{xyz}\right)^2}=2x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}=2y+\sqrt{xyz}\)
\(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}\)
Suy ra \(P=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}=2x+\sqrt{xyz}+2y+\sqrt{xyz}+2z+\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}=2x+2y+2z+2\sqrt{xyz}=2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)=2.4=8\)
thay 1=x+y+z vào nhá , ví dụ x=x(x+y+z) rồi phân tích đa thức thành nhân tử!
thay 1=x+y+z vào nhá , ví dụ x=x(x+y+z) rồi phân tích đa thức thành nhân tử!
Ta có \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{xyz}\left(x,y,z>0\right)\).
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=1\).
\(P=\frac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2z^2+xz+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+y^2}\right)\)\(\left(x,y,z>0\right)\).
Ta có:
\(\sqrt{2y^2+2yz+2z^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(y^2+2yz+z^2\right)+\frac{3}{4}\left(y^2-2yz+z^2\right)}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2}\).
Ta có:
\(\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2\ge0\forall y;z>0\).
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2+\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2\forall y;z>0\).
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2+\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\forall y,z>0\).
\(\Leftrightarrow\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\forall y;z>0\).
\(\Leftrightarrow x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}x\left(y+z\right)\forall x;y;z>0\left(1\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(y\sqrt{2x^2+xz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}y\left(x+z\right)\forall x;y;z>0\left(2\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}z\left(x+y\right)\forall x;y;z>0\left(3\right)\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:
\(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2z^2+xz+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{5}}{2}\left[x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\right]=\sqrt{5}\left(xy+yz+zx\right)\).
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+z^2}+y\sqrt{2z^2+zx+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\right)\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{5}\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}=\sqrt{5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\).
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{3}.3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{\sqrt{5}}{3}\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\)
\(\left(4\right)\).
Vì \(x,y,z>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta được:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\)\(\left(1.\frac{1}{\sqrt{x}}+1.\frac{1}{\sqrt{y}}+1.\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\).
\(\Leftrightarrow\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2=1^2=1\)
(vì\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=1\)).
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{5}}{3}\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\)\(\left(5\right)\).
Từ \(\left(4\right)\)và \(\left(5\right)\), ta được:
\(P\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{xyz}\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=9\).
Vậy \(minP=\frac{\sqrt{5}}{3}\Leftrightarrow x=y=z=9\).
Phân tích cái trên thành hằng đẳng thức bậc 2 là đc, tìm ra x;y;z rồi thay vào M
làm rõ ra cho tớ được không? Không hiểu sao tớ phân tích không ra :((