Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy cho cặp số dương \(\dfrac{1}{\left(z+x\right)};\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\)
\(\dfrac{1}{\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\left(1\right)\)
Tương tự ta được
\(\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\le\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}\left(2\right)\)
\(\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\left(3\right)\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\) ta được :
\(P=\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}+\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}+\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\)
\(\Rightarrow P\le2\left(x+y+z\right)=2.3=6\)
\(\Rightarrow GTLN\left(P\right)=6\left(tạix=y=z=1\right)\)
Các biểu thức ở trong căn đều đưa được về bình phương
\(\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}=\sqrt{\left(2\sqrt{x}+1\right)^2}=\left|2\sqrt{x}+1\right|=2\sqrt{x}+1\)
Tương tự với hai căn còn lại ta sẽ có biểu thức đề cho tương đương với
\(2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+3\)
Bài 1)
Ta biết ĐKXĐ:
\(\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\x^4-16\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\x^2-4\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2-4=0\rightarrow x=\pm2\)
Mặt khác \(4x+1\geq 0\Rightarrow x=2\)
Thay vào PT ban đầu : \(\Rightarrow 3+|y-1|=-y+5\Leftrightarrow |y-1|=2-y\)
Xét TH \(y-1\geq 0\) và \(y-1<0\) ta thu được \(y=\frac{3}{2}\)
Thu được cặp nghiệm \((x,y)=\left (2,\frac{3}{2}\right)\)
Bài 2)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\sqrt{\frac{z(x-z)}{xy}}+\sqrt{\frac{z(y-z)}{xy}}\leq 1\Leftrightarrow A=\left(\sqrt{\frac{z(x-z)}{xy}}+\sqrt{\frac{z(y-z)}{xy}}\right)^2\leq 1\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz kết hợp AM-GM:
\(A\leq \left ( \frac{z}{y}+\frac{z}{x} \right )\left ( \frac{x-z}{x}+\frac{y-z}{y} \right )=\left ( \frac{z}{x}+\frac{z}{y} \right )\left ( 2-\frac{z}{x}-\frac{z}{y} \right )\)
\(\leq \left ( \frac{\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+2-\frac{z}{x}-\frac{z}{y}}{2} \right )^2=1\)
Do đó ta có đpcm.
\(\frac{27}{3\sqrt{3x-2}+6}+\frac{8+4x-x^2}{x\sqrt{6-x}+4}\ge\frac{3}{2}+\frac{2x-14}{3\sqrt{6-x}+2}>0\)
Nên phần còn lại vô nghiệm
Đầu tiên ta chứng minh được: \(\sum\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sum\sqrt{x}\right)^2}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\le3\)
Ta lại có: \(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}=\sqrt{\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\right)^2}\le\sqrt{2\left(1+x^2+2x\right)}=\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
Tương tự, ta sẽ có: \(P\le\sqrt{2}\left(x+1+y+1+z+1\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le\sqrt{2}.6+\left(2-\sqrt{2}\right)3=6+\sqrt{2}.3\)