LS
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
S
1
14 tháng 1 2021
Do x,y∈Z và 3x+2y=1 ⇒xy<0
3x+2y=1⇔y= -x+\(\dfrac{1-x}{2}\)
Đặt \(\dfrac{1-x}{2}\)=t (t ∈ Z)
⇒x = 1 - 2t ; y = 3t - 1
khi đó : H = t\(^2\) -3t + |t| -1
nếu t ≥ 0⇒ H =( t -1 ) - 2 ≥ - 2
Dấu "=" xảy ra ⇔t=1
nếu t < 0 ⇒ H = t\(^2\) -4t - 1 > -1> -2
vậy GTNN của H là -2 khi t=1⇒ \(\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}\)
VP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
Tương tự:
$y^2+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
$z^2+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
Cộng theo vế:
$A\geq 9\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ (đây chính là $A_{\min}$)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
5 tháng 6 2022
C1:
\(x,y>0\)
\(M=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+2+\dfrac{1}{y^2}=\left(x^2+\dfrac{1}{16x^2}\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\)Theo BĐT AM-GM (Caushy) ta có:
\(M=\left(x^2+\dfrac{1}{16x^2}\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16y^2}}+\dfrac{15}{16}.2\sqrt{\dfrac{1}{x^2}.\dfrac{1}{y^2}}+4=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+4+\dfrac{15}{4}.\dfrac{1}{xy}\ge5+\dfrac{15}{4}.\dfrac{1}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}\ge5+\dfrac{15}{4}.\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=20\)Đẳng thức xảy ra \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=\dfrac{1}{16}x^2\\y^2=\dfrac{1}{16}y^2\\x+y=1\\x,y>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(MinM=20\)
DF
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2021
\(xy\ge2\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow x\ge\dfrac{2\left(y-1\right)}{y}\ge0\)
\(\Rightarrow M\ge\dfrac{\dfrac{4\left(y-1\right)^2}{y^2}+4}{y^2+1}=4.\dfrac{\left(y-1\right)^2+y^2}{y^2\left(y^2+1\right)}\)
\(\dfrac{M}{4}\ge\dfrac{2y^2-2y+1}{y^4+y^2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)\left(y^3+2y^2-3y+2\right)}{4\left(y^4+y^2\right)}+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow M\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(y=2;x=1\)
PD
1
19 tháng 11 2021
Tham khảo: Giải toán trên mạng - Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học trực tuyến OLM
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2021
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{1+x^2}=a>0\\y+\sqrt{1+y^2}=b>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+x^2=a^2+x^2-2ax\\1+y^2=b^2+y^2-2by\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a^2-1}{2a}\\y=\dfrac{b^2-1}{2b}\end{matrix}\right.\)
Giả thiết trở thành: \(ab=2018\)
\(P=\dfrac{a^2-1}{2a}+\dfrac{b^2-1}{2b}=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)-\dfrac{a+b}{2ab}\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right).\dfrac{2017}{2018}\ge\sqrt{ab}.\dfrac{2017}{2018}=\dfrac{2017}{\sqrt{2018}}\)
\(P_{min}=\dfrac{2017}{\sqrt{2018}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{2017}{2\sqrt{2018}}\)
G
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2021
\(P=x+y+\dfrac{10}{x+y}=2\sqrt{10}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{10}\\x^2+y=8\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1+\sqrt{33-4\sqrt{10}}}{2};\dfrac{2\sqrt{10}-1-\sqrt{33-4\sqrt{10}}}{2}\right)\)
LM
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 4 2021
\(Q=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy\)
\(Q=8-6xy+4-2xy=12-8xy\)
\(Q=12-8x\left(2-x\right)=12-16x+8x^2=8\left(x-1\right)^2+4\ge4\)
\(Q_{min}=4\) khi \(x=y=1\)
Ta có :
\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2\) ( BĐT Bunhiacopxki )
Vậy \(-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)