TQ
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
21 tháng 1 2018
Ta có: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)+y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(x+xy^2-y-x^2y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)\ge0\)(đúng với mọi x,y>=1)
19 tháng 7 2017
quy đồng BĐT \(\frac{\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(xy+1\right)}\ge0\forall xy\ge1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 4 2019
Biến đổi tương đương, do mọi hạng tử đều dương nên:
\(\frac{x^2+y^2+2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x^2+y^2+2\right)\ge2\left(x^2y^2+x^2+y^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2+x^3y+xy^3+2xy=2x^2y^2+2x^2+2y^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3-2x^2y^2-\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng do \(xy\ge1\Rightarrow xy-1\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}xy=1\\x=y\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 5 2020
a/ \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(2+x^2+y^2\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2+x^2+y^2+2xy+xy\left(x^2+y^2\right)\ge2+2x^2+2y^2+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2-2xy\right)-\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ Để biểu thức xác định \(\Rightarrow x\ne0\Rightarrow x^2\ge1\)
\(4=\frac{y^2}{4}+x^2+\frac{1}{x^2}+x^2\ge\frac{y^2}{4}+2\sqrt{\frac{x^2}{x^2}}+1\ge\frac{y^2}{4}+3\)
\(\Rightarrow\frac{y^2}{4}\le1\Rightarrow y^2\le4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2=0\\y^2=1\\y^2=4\end{matrix}\right.\)
\(y^2=0\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=4\Rightarrow2x^4-4x^2+1=0\) (ko tồn tại x nguyên tm)
\(y^2=1\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=3\Rightarrow2x^4-3x^2+1=0\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=...\)
\(y^2=4\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=0\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn
KN
16 tháng 2 2020
Ta có: \(VT-VP=\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)(đúng với \(xy\ge1\))
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1
KN
25 tháng 12 2019
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)(đpcm)
25 tháng 12 2019
Ta có vì : x,y > 0
và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Từ đề bài ta có:
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}.\left(x+y\right).xy\ge\frac{4}{x+y}.xy\left(x+y\right)\)
Áp dụng đẳng thức Cô-si:
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy....
đpcm.
20 tháng 7 2017
ặc :v
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)+y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
Ok chưa :v
KB
16 tháng 3 2019
1 ) Đề bài > not \(\ge\)
Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :
\(x^2+y^2+8>xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+16>2xy+4x+4y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+8>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8>0\left(1\right)\)
Do \(\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8\ge8>0\forall x;y\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm
2 ) ĐK : a ; b ; c không âm
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ( cái này bạn áp dụng BĐT Cô - si để c/m ) , ta có :
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{6.2}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
3 ) Áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số không âm , ta có :
\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\left(1\right)\)
\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2+3\ge2xy+2yz+2xz+2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z+2xy+2xz+2yz\right)=2.6=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Cái này biến đổi tương đương nhé, t có mỗi cách đó !
ta có BĐT cần chứng minh
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)+\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)\ge2\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1+x^2+xy+x^3y+1+y^2+xy+y^3\ge2\left(1+x^2+y^2+x^2y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2xy+x^3y+xy^3-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
bđt này luôn đúng với \(x,y\ge1\)
dấu = xảy ra <=> x=y >=1
^_^
chọn của vũ tiền châu nhé
nhớ đêý
cảm ơn
t i c k nhé
kí tên hà ơi quá khắm :vvv