Câu hỏi của Trần Hoàng Đạt

Question

Cho $x,y\ge0tm:$ $x^{2016}+y^{2016}=x^{2017}+y^{2017}=x^{2018}+y^{2018}$

Tính $A=x^{2019}+y^{2019}$

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

Từ điều kiện đề bài suy ra:

$\left\{\begin{matrix}
x^{2016}+y^{2016}-x^{2017}-y^{2017}=0\
x^{2017}+y^{2017}-x^{2018}-y^{2018}=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2016}(1-x)+y^{2016}(1-y)=0\
x^{2017}(1-x)+y^{2017}(1-y)=0\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x^{2016}(1-x)(1-x)+y^{2016}(1-y)(1-y)=0$ (trử theo vế)

$\Leftrightarrow x^{2016}(1-x)^2+y^{2016}(1-y)^2=0$

Dễ thấy $x^{2016}(1-x)^2; y^{2016}(1-y)^2\geq 0$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
$x^{2016}(1-x)^2=y^{2016}(1-y)^2=0$

$\Rightarrow (x,y)=(0,1), (0,0), (1,1)$ và hoán vị của nó

Thử lại vào đk ban đầu thấy thỏa mãn

Do đó: $A=x^{2019}+y^{2019}\in\left\{0; 1;2\right\}$Câu trả lời: Lời giải:

Từ điều kiện đề bài suy ra:

$\left\{\begin{matrix}
x^{2016}+y^{2016}-x^{2017}-y^{2017}=0\
x^{2017}+y^{2017}-x^{2018}-y^{2018}=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2016}(1-x)+y^{2016}(1-y)=0\
x^{2017}(1-x)+y^{2017}(1-y)=0\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x^{2016}(1-x)(1-x)+y^{2016}(1-y)(1-y)=0$ (trử theo vế)

$\Leftrightarrow x^{2016}(1-x)^2+y^{2016}(1-y)^2=0$

Dễ thấy $x^{2016}(1-x)^2; y^{2016}(1-y)^2\geq 0$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
$x^{2016}(1-x)^2=y^{2016}(1-y)^2=0$

$\Rightarrow (x,y)=(0,1), (0,0), (1,1)$ và hoán vị của nó

Thử lại vào đk ban đầu thấy thỏa mãn

Do đó: $A=x^{2019}+y^{2019}\in\left\{0; 1;2\right\}$

Hoàng Phong · Answer

Vì $x^{2016}+y^{2016}=x^{2017}+y^{2017}=x^{2018}+y^{2018}\left(x,y\ge0\right)$

$\Rightarrow x=y=1$

$\Rightarrow A=1^{2019}+1^{2019}$

$\Rightarrow A=2$Câu trả lời: Vì $x^{2016}+y^{2016}=x^{2017}+y^{2017}=x^{2018}+y^{2018}\left(x,y\ge0\right)$

$\Rightarrow x=y=1$

$\Rightarrow A=1^{2019}+1^{2019}$

$\Rightarrow A=2$