\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 2 2019

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\) (Vì x+y=1)

Vậy Min của bt trên là 25/2. Đạt được khi x=y=1/2.

6 tháng 11 2017

a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3

MInA=3<=>x=y=z=1

6 tháng 11 2017

b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)

9 tháng 3 2016

Theo bất đẳng thức Cô-Si, ta có \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\to xy\le\frac{1}{4}.\) Do vậy áp dụng bất đẳng thức Cô-Si 

\(xy+\frac{1}{xy}=xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy}\ge2\sqrt{xy\cdot\frac{1}{16xy}}+\frac{15}{16\cdot\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}.\)

a. Ta có \(M=\left(xy\right)^2+\frac{1}{\left(xy\right)^2}+2=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\ge\left(\frac{17}{4}\right)^2=\frac{289}{16}.\)  Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}.\) Vây giá trị bé nhất của M là \(\frac{289}{16}.\)
b.  Theo bất đẳng thức Cô-Si 

\(N\ge2\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)=2\left(xy+\frac{1}{xy}\right)+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge2\cdot\frac{17}{4}+4\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=\frac{25}{2}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ \(x=y=\frac{1}{2}.\) 

26 tháng 5 2019

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(x-1\right)^2}{z}\frac{z}{4}}=|x-1|=1-x.\)

\(\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(y-1\right)^2}{x}\frac{x}{4}}=|y-1|=1-y.\)

\(\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\frac{y}{4}}=|z-1|=1-z.\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge1-x+1-y+1-z.\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge3-\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{4}=3-2-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.\)

Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}.\)

26 tháng 5 2019

1. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz và x,y,z>1

Tìm GTNN của P= x-1/y+y-1/x+ x-1/x2

               Giải

Từ gt⇒1xy+1yz+1zx=1⇒1xy+1yz+1zx=1

Theo AM-GM ta có:

P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥√3∑1xy+∑1xy−2=√3−1P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥3∑1xy+∑1xy−2=3−1

Dấu = xảy ra⇔x=y=z=1√3

P/S: ĐỀ BÀI TƯƠNG TỰ NÊN BẠN TỰ LÀM NHA !! CHÚC HOK TỐT!

19 tháng 5 2018

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{3\sqrt[3]{x^2y^2}+1}\ge\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{xy+x+y+1}=\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=y+1\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(P\ge x+y+z+3=6\)

Dấu "=" <=> x=y=z=1

NV
7 tháng 5 2019

\(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{2}\Rightarrow\frac{1}{x+y}\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(P=x+y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+2\ge x+y+2\sqrt{\frac{xy}{xy}}+\frac{4}{x+y}+2\)

\(P\ge x+y+\frac{2}{x+y}+\frac{2}{x+y}+4\ge2\sqrt{\frac{2\left(x+y\right)}{x+y}}+2.\frac{\sqrt{2}}{2}+4=4+3\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow P_{min}=4+3\sqrt{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)