Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
Điều kiện x;y >=1Ta có: \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{1}{1+xy}\Leftrightarrow\frac{2}{\left(1+x\right)^2}+\frac{2}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(1+x\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+1^2\right)=2\left(x^2+1\right)\\\left(1+y\right)^2\le2\left(y^2+1\right)\end{cases}}\)
Cần cm: \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2+2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+2\right)\left(1+xy\right)\ge2\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+x^3y+y^2+y^3x+2+2xy\ge2x^2y^2+2x^2+2y^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3+2xy-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2-2xy\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)=\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)
"=" khi x=y=1
Đề sai thì phải ah.
Với \(x=1;y=2\) ta có:
\(S=\frac{1}{\left(1+1\right)^2}+\frac{1}{\left(1+2\right)^2}\ge\frac{1}{1+1\cdot2}\)
\(S=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}\ge\frac{1}{3}\)
\(S=\frac{13}{36}\ge\frac{1}{3}\left(VL\right)\)
Khai triển nó ra,ta có:
\(1+y^2=y^2+xy+yz+zx=\left(y+x\right)\left(y+z\right)\)
\(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(1+z^2=xy+yz+zx+z^2=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)
Ta có:\(P=\Sigma x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\Sigma x\cdot\left(y+z\right)\)
Rút gọn dc như vậy rồi chị làm nốt ạ