TL
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TL
0
L
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 10 2019
Đặt \(\left(\sqrt[3]{x};\sqrt[3]{y};\sqrt[3]{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a^3+b^3+c^3=1\)
\(a^3+a^3+\frac{1}{3}\ge\frac{3a}{\sqrt[3]{3}}a^2=\sqrt[3]{9}a^2\)
Tương tự: \(2b^3+\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{9}b^2\); \(2c^3+\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{9}c^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+1\ge\sqrt[3]{9}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le\frac{3}{\sqrt[3]{9}}=\sqrt[3]{3}\)
\(P=ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\sqrt[3]{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\) hay \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
18 tháng 8 2017
Cái bài này bình thường :v
Đặt \(A=\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z^3}{x^3+8}\)
\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z^3}{x^3+8}-\dfrac{2}{27}\left(xy+yz+xz\right)\ge\dfrac{1}{9}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y+2}{27}+\dfrac{y^2-2y+4}{27}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{y^3+8}\cdot\dfrac{y+2}{27}\cdot\dfrac{y^2-2y+4}{27}}=\dfrac{x}{3}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z+2}{27}+\dfrac{z^2-2z+4}{27}\ge\dfrac{y}{3};\dfrac{z^3}{x^3+8}+\dfrac{x+2}{27}+\dfrac{x^2-2x+4}{27}\ge\dfrac{z}{3}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(A+\dfrac{x+y+z+6}{27}+\dfrac{x^2+y^2+z^2-2\left(x+y+z\right)+12}{27}\ge\dfrac{x+y+z}{3}\)
\(\Leftrightarrow A+\dfrac{9}{27}+\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+6}{27}\ge1\)\(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{1}{3}\)
Cần chứng minh \(VT=A-\dfrac{2}{27}\left(xy+yz+xz\right)\ge\dfrac{1}{9}=VP\)
\(\Leftrightarrow VT=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2\cdot\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{27}=\dfrac{1}{9}=VP\) (đúng)
Xảy ra khi \(x=y=z=1\)
P/s:Trình bày hơi khó hiểu, thông cảm :v
DT
0