Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)
Dấu "=" <=> x= y = 1/2
\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)
\(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" <=> x = 3y
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
2. Xem tại đây
1. \(P=\frac{1}{\sqrt{x.1}}+\frac{1}{\sqrt{y.1}}+\frac{1}{\sqrt{z.1}}\)
\(\ge\frac{1}{\frac{x+1}{2}}+\frac{1}{\frac{y+1}{2}}+\frac{1}{\frac{z+1}{2}}\)
\(=\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1}+\frac{2}{z+1}\ge\frac{2.\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{18}{3+3}=3\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
1 ) có cách theo cosi đó
áp dụng cosi cho 3 số dương ta có \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{x}}\times\frac{1}{\sqrt{x}}\times x}=3\sqrt[3]{1}=3\)(1)
\(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+y\ge3\)(2)
\(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}}+z\ge3\)(3)
cộng các vế của (1),(2),(3), đc \(2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)+\left(x+y+z\right)\ge9\Rightarrow2P+3\ge9\Rightarrow P\ge3\)
minP=3 khi x=y=z=1
1.
Đầu tiên ta cm: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\) (cô si)
Dấu "=" khi a = b.
Áp dụng:
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\) \(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}\cdot4xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)
\(=4+2+5=11\)
Vậy MinA = 11 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\Leftrightarrow x^2+1=P\left(x^2-x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+1-Px^2+Px-P=0\)(*)
\(\Leftrightarrow\left(1-P\right)x^2+Px+\left(1-P\right)=0\)
\(\Delta=P^2-4\left(1-P\right)^2\)
\(=P^2-4\left(1-2P+P^2\right)=-3P^2+8P-4\)
Để P có GTNN và GTLN thì phương trình (*) có nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow-3P^2+8P-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3P^2+2P+6P-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow-P\left(3P-2\right)+2\left(3P-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3P-2\right)\left(2-P\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\le P\le2\)
Vậy \(min_P=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=-1\); \(max_P=2\Leftrightarrow x=1\)
Áp dụng 2 bđt sau \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\end{cases}}\)(tự chứng minh nhé)
\(A=\left(\frac{1}{x}+x\right)^2+\left(\frac{1}{y}+y\right)^2\ge\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+x+y\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{4}{x+y}+1\right)^2}{2}=\frac{\left(4+1\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" tại x = y = 1/2
Đặt \(\hept{\begin{cases}2^x=a\\2^y=b\end{cases}}\) thì ta có: \(A=\frac{1+ab}{1+a^2}+\frac{1+ab}{1+b^2}\)
Ta cần chứng minh \(2\) là GTNN của A (khi x=1,02171...;y=1,02171... và x=y=1,04019...)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\right)\ge2\)
Và điều này tương đương với \(\frac{\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\ge0\)
Cái này đúng nếu \(ab\ge1\)