HV
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KN
30 tháng 7 2020
Ta có: \(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}\)
\(=\frac{6}{\left(x+y\right)^2}=6\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
30 tháng 7 2020
Bài làm:
Ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(bất đẳng thức Cauchy)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwars ta được:
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1}{2.\frac{1}{4}}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{4}{1^2}+2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
27 tháng 6 2016
bài 2 nhân p vs x+y+xy rồi t định áp dụng bđt (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9 nhưng vướng
DT
2
KN
13 tháng 2 2020
Ta chứng minh: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Thật vậy \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\forall x,y,z\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(đpcm\right)\)
Áp dụng BĐT Svacxo, ta có:
\(\text{ Σ}_{cyc}\frac{1}{1+xy}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+xy+yz+zx}=\frac{9}{3+xy+yz+zx}\)
\(\ge\frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))
13 tháng 2 2020
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
Do \(x^2+y^2+z^2\le3\)
\(\Rightarrow3\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow1\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow4\ge xy+yz+xz+3\)
\(\Rightarrow\frac{9}{4}\le\frac{9}{3+xy+xz+yz}\left(1\right)\)
Ta có : \(C=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow C=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\ge\frac{9}{3+xy+yz+xz}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow C=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\ge\frac{9}{4}\)
Vậy \(C_{min}=\frac{9}{4}\)
Dấu " =" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(\left(xy\right)^2-3=x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(xy\right)^2-2xy-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+1\right)\left(xy-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy-3\ge0\Rightarrow xy\ge3\)
\(\Rightarrow xy_{min}=3\) khi \(x=y=\sqrt{3}\)