Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\dfrac{16}{x}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y}=\dfrac{4^2}{x}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{y}\ge\dfrac{\left(4+\dfrac{1}{2}\right)^2}{x+y}=\dfrac{81}{20}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{81}{20}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{40}{9}\\y=\dfrac{5}{9}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=81\\b=20\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b=101\)
\(\left(x^2+\dfrac{8}{27x}+\dfrac{8}{27x}\right)+\left(y^2+\dfrac{8}{27y}+\dfrac{8}{27y}\right)+\dfrac{11}{27}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{8^2}{27^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{8^2}{27^2}}+\dfrac{11}{27}.\dfrac{4}{x+y}\)
\(\ge\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{11}{9}=\dfrac{35}{9}\)
Theo giả thiết ta có : \(x+yz=yz-z-1=\left(z-1\right)\left(y+1\right)=\left(x+y\right)\left(y+1\right)\)
Tương tự : \(y+zx=\left(x+y\right)\left(x+1\right)\)
Và \(z+xy=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
Nên \(P=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(y+1\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
\(=\frac{x^2+y^2+x+y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
Ta có \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\left(x+1\right)\left(y+1\right)\le\frac{\left(x+y+2\right)^2}{4}\)
nên \(P\ge\frac{2\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)}{\left(x+y+2\right)^2\left(x+y\right)}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}=\frac{2\left(x+y\right)+4}{\left(x+y+2\right)^2}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}\)
\(=\frac{2}{z+1}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(z+1\right)^2}=f\left(z\right);z>1\)
Lập bảng biến thiên ta được \(f\left(z\right)\ge\frac{13}{4}\) hay min \(P=\frac{13}{4}\) khi \(\begin{cases}z=3\\x=y=1\end{cases}\)
Ta có \(2\left(x+y\right)=z\left(xy-7\right)\), do x,y,z là các số dương nên xy-7>0.
Khi đó, từ giả thiết ta được : \(z=\frac{2\left(x+y\right)}{xy-7}\)
Suy ra \(S=f\left(x;y\right)=2x+y+\frac{4\left(x+y\right)}{xy-7}\) với điều kiện \(x>0;y>0,xy>7\) (*)
Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số \(f\left(x;y\right)\) theo ẩn y ta được :
\(f'_y\left(x;y\right)=1+\frac{4\left(xy-7\right)-4x\left(x+y\right)}{\left(xy-7\right)^2}=1-\frac{28+4x^2}{\left(xy-7\right)^2}\)
\(f'_y\left(x;y\right)=0\Leftrightarrow x^2y^2-14xy+21-4x^2=0\)
\(\Leftrightarrow y_0=\frac{7}{x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\)
Suy ra \(f\left(x;y_0\right)=2x+\frac{11}{x}+4\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\)
Xét hàm số : \(g\left(x\right)=2x+\frac{11}{x}+4\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\) với x>0, với \(g'\left(x\right)=2-\frac{11}{x^2}-\frac{28}{x^3\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}}\)
\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=3\)
Khi đó \(g\left(x\right)\ge g\left(3\right)\Leftrightarrow g\left(x\right)\ge15\)
Với điều kiện (*), ta có \(S\ge f\left(x;y_0\right)=g\left(x\right)\ge15\)
Vậy MinS=15 khi x=3, y=5, z=2
Bạn kiểm tra lại đề bài, với biểu thức thế này thì không thể tìm được điểm rơi (nó là nghiệm của 1 pt bậc 4 hệ số rất xấu ko thể giải được)