K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 7 2019

Theo BĐT AM-GM, ta có

\(\frac{x^2}{y-2}\)+4(y-2) \(\ge\)4x

\(\frac{y^2}{x-2}\)+4(x-2)\(\ge\)4y

Cộng vế theo vế của 2 bất đẳng thức trên ta được:

\(\frac{x^2}{y-2}\)+\(\frac{y^2}{x-2}\)+4x+4y-16\(\ge\)4x+4y

<=>\(\frac{x^2}{y-2}\)+\(\frac{y^2}{x-2}\)\(\ge\)16

Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=4

9 tháng 10 2016

xin lỗi, đề bài là y^2 nhá, mình quên

30 tháng 4 2019

p= 1+2 : 1 + 3 x 2 +1 + 2 : 1 + 3 + 4 + 1 +2 : 1 + 2 + 3

=  30

25 tháng 12 2016

k=x-1; t=y-1; => k,t>0

<=>

(k^2+2k+1)k+(t^2+2t+1)t>=8kt

k^3+2k^2+k+t^3+2t^2+t>=8kt

co si

\(2k^2+2k^2\ge2\sqrt{2.k^2.2.t^2}=4kt\)

\(k^3+t^3+k+t\ge4\sqrt[4]{k^4.t^4}=4kt\)

 đẳng thức khi k^3=t^3=k^2=t^2=k=t=1=> x=y=2

cộng vế với vế

\(VT\ge VP\Rightarrow dpcm\)

23 tháng 7 2016

Đặt  \(J=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)  với  \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z\le1\end{cases}}\left(i\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức  \(B.C.S\)  cho hai bộ số thực không âm gồm có  \(\left(x^2;\frac{1}{x^2}\right)\)  và  \(\left(1^2+9^2\right),\) ta có:

\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1^2+9^2\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)

\(\Rightarrow\)  \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{x}\right)\)   \(\left(1\right)\)

Đơn giản thiết lập hai bất đẳng thức còn lại theo vòng hoán vị  \(y\rightarrow z\) , ta cũng có:

\(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(y+\frac{9}{y}\right)\)   \(\left(2\right);\)   \(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{z}\right)\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế  các bđt  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right);\)  và  \(\left(3\right)\) , suy ra:

\(J\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\)

Ta có:

\(K=x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)

\(=\left(9x+\frac{1}{x}\right)+\left(9y+\frac{1}{y}\right)+\left(9z+\frac{1}{z}\right)+8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-8\left(x+y+z\right)\)

Khi đó, áp dụng bđt Cauchy đối với từng ba biểu thức đầu tiên, tiếp tục với bđt Cauchy-Swarz dạng Engel cho biểu thức thứ tư, chú ý rằng điều kiện đã cho  \(\left(i\right)\) , ta có:

\(K\ge2\sqrt{9x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{9y.\frac{1}{y}}+2\sqrt{9z.\frac{1}{z}}+\frac{72}{x+y+z}-8\left(x+y+z\right)\)

     \(=6+6+6+72-8=82\)

Do đó,  \(K\ge82\)

Suy ra  \(J\ge\frac{82}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}\)  (đpcm)

Dấu   \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

18 tháng 9 2016

Bài 1: \(T=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)

\(=\frac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left[y^3+\left(x+y\right)^3\right]}}\)

\(=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)

\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)

\(\Rightarrow T\ge1\)

Bài 2:

[Toán 10] Bất đẳng thức | Page 5 | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam

31 tháng 1 2021

Bài 1: 

Ta có: \(P=\frac{1}{1+x^2}+\frac{4}{4+y^2}=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+\frac{y^2}{4}}\)

Đặt \(\left(x;\frac{y}{2}\right)=\left(a;b\right)\left(a,b>0\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+2ab\\ab\ge1\end{cases}}\)

Ta có: \(P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+2ab\)

\(\ge\frac{1}{ab+a^2}+\frac{1}{ab+b^2}+2ab=\frac{1}{ab}+2ab\)

\(=\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+ab\ge2+1=3\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(ab=\frac{1}{ab}\Rightarrow ab=1\Rightarrow xy=2\)

31 tháng 1 2021

Bài 3: 

Đặt \(\left(a-1;b-1;c-1\right)=\left(x;y;z\right)\left(x,y,z>1\right)\)

Khi đó:

\(BĐTCCM\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)^2}{y}+\frac{\left(y+1\right)^2}{z}+\frac{\left(z+1\right)^2}{x}\ge12\)

Thật vậy vì ta có:

\(VT=\frac{\left(x+1\right)^2}{y}+\frac{\left(y+1\right)^2}{z}+\frac{\left(z+1\right)^2}{x}\)

\(=\frac{x^2+2x+1}{y}+\frac{y^2+2y+1}{z}+\frac{z^2+2z+1}{x}\)

\(=\left(\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}\right)+\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{2x}{y}\cdot\frac{2y}{z}\cdot\frac{2z}{x}}+6\sqrt[6]{\frac{x^2}{y}\cdot\frac{y^2}{z}\cdot\frac{z^2}{x}\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{z}}=6+6=12\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)

10 tháng 3 2020

c1: phân tích từng cái

c2, nhân x cho (1) y cho 2

sau đs dùng bunhia 

từ x+y=1

=> x^2-xy+y^2...

11 tháng 3 2020

\(VT-VP=\frac{\left(3x^2+7xy+3y^2\right)\left(x-y\right)^2}{3\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\ge0\)

4 tháng 11 2017

vì x+y+z=1nên

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\)\(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)=\(3+\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)

nen \(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) =\(\left(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}\right)+\left(\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{4yz}\right)+\left(\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{xz}\right)+\frac{3}{4}\)

\(\ge2.\frac{1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)(dpcm)

dau = xay ra khi x=y=z=1/3