Question

[fairy]

cho x;y là các số thực dương thỏa mãn \(x+y=\sqrt{10}.\)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)

Answer 1

[alibaba nguyễn]

\(A=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)=x^4y^4+x^4+y^4+1\)

\(=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)

\(=\left[10-2xy\right]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)

\(=2x^2y^2+x^4y^4-40xy+101\)

\(=\left(x^4y^4-8x^2y^2+16\right)+10\left(x^2y^2-4xy+4\right)+45\)

\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\ge45\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{10}\\xy=2\end{cases}}\)

Answer 2

[Phan Văn Long]

\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)

mà \(^{x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=5}\)

=>\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\ge25\)