Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có:
\(\dfrac{x}{1-x^2}+\dfrac{y}{1-y^2}=\dfrac{x-xy^2+y-x^2y}{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}=\dfrac{1-xy}{xy\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
Áp dụng BĐT cauchy:
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\)
và \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(x+y+2\right)^2=\dfrac{9}{4}\)
do đó \(VT\ge\dfrac{1-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{4}.\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{16}{9}=\dfrac{4}{3}\)
dấu = xảy ra khi x=y=\(\dfrac{1}{2}\)
Theo BĐT Cô-si dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{4}{4}=1\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Cách khác :
\(\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\ge2.\sqrt{\dfrac{x^2}{x+y}.\dfrac{x+y}{4}}=x\\ \dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\ge y\\ \dfrac{z^2}{x+z}+\dfrac{x+z}{4}\ge z\\ \Rightarrow\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{x+z}+\dfrac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\\ \Rightarrow\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{x+z}\ge2-1=1\)
2) \(\sum\dfrac{x}{x^2-yz+2013}=\sum\dfrac{x^2}{x^3-xyz+2013x}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013\left(x+y+z\right)}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\dfrac{1}{x+y+z}\left(đpcm\right)\)
1) Đặt T là vế trái của BĐT
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có:
\(T=\dfrac{x^4}{xy}+\dfrac{y^4}{yz}+\dfrac{z^4}{xz}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+xz}\ge\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
3)b) Đặt T là vế trái, áp dụng AM-GM ta có:
\(b+c=\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2\ge\left(b+c\right)4a\left(b+c\right)=4a\left(b+c\right)^2\ge16abc\)