K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

17 tháng 8 2020

Đẳng thức \(\left(x-y\right)\left[2019\left(x+y\right)+1\right]=y^2\)

d là ƯCLN (x-y);[(x+y)2019+1)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y⋮d\\\left(x+y\right)2019+1⋮d\end{cases}\Rightarrow y^2⋮d^2\Leftrightarrow y⋮d}\)

=> 2019(y+x) chia hết cho d => 2y.2019+1 chia hết cho d

=> d=1

=> (x-y);2019(x+y)+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau mà tích là 2 số chính phương => x-y là số chính phương

Đặt x - y = t

\(x=y+t\)

\(x^2=\left(y+t\right)^2=\left(y+t\right)\left(y+t\right)=y^2+2yt+t^2\)

Thay vào ta có :

\(y+t+2019 \left(y^2+2yt+t^2\right)=2020y^2+y\)

\(t+4038yt+2019t^2=y^2\)

\(t+2019.2020t^2=\left(y-2019t\right)^2\)

\(t\left(1+2019.2020t\right)=\left(y-2019t\right)^2\)

\(\Rightarrow\)t là số chính phương do t và 1 + 2019.2020t là hai số nguyên tố cùng nhau.

4 tháng 4 2023

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2023

Lời giải:
$x+2019x^2=y+2019y^2$
$\Leftrightarrow (x-y)+2019(x^2-y^2)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)[1+2019(x+y)]=0$

$\Rightarrow x-y=0$ hoặc $1+2019(x+y)]=0$

Với $x,y$ là số nguyên thì hiển nhiên $1+2019(x+y)\neq 0$ (do lẻ) 

$\Rightarrow x-y=0$

$\Rightarrow x-y=0^2$ là số chính phương.

22 tháng 6 2015

=> 2x2 - 2y2 + x - y = y2

=> 2(x2 - y2) + (x - y) = y2

=> 2.(x - y).(x+y) + (x - y) = y2

=> (x - y).(2x+ 2y + 1) = y2  là số chính phương  (*)

Nhận xét: x - y và 2x + 2y + 1 nguyên tố cùng nhau  (**)  vì: 

Gọi d = ƯCLN(x - y; 2x + 2y + 1) 

=> x- y ; 2x + 2y + 1 chia hết cho d

=> y2 = (x - y).(2x+ 2y+ 1) chia hết cho d2 => y chia hết cho d

và  (2x+ 2y+ 1) - 2(x - y)  chia hết cho d =>  4y + 1 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d hay d = 1

Từ (*)(**) => x - y và 2x + 2y + 1 là số chính phương

Tương tự: có 3y2 - 3x2 + y - x = -x2

=> 3(x2 - y2) + (x - y) = x2

=> 3(x - y)(x+y) + (x - y) = x2

=> (x - y).(3x+ 3y + 1) = x2 là số chính phương 

Mà x - y là số chính phương nên 3x + 3y + 1 là số chonhs phương

=> ĐPCM

23 tháng 6 2015

=> 2x2 - 2y2 + x - y = y2

=> 2(x2 - y2) + (x - y) = y2

=> 2.(x - y).(x+y) + (x - y) = y2

=> (x - y).(2x+ 2y + 1) = y2  là số chính phương  (*)

Nhận xét: x - y và 2x + 2y + 1 nguyên tố cùng nhau  (**)  vì: 

Gọi d = ƯCLN(x - y; 2x + 2y + 1) 

=> x- y ; 2x + 2y + 1 chia hết cho d

=> y2 = (x - y).(2x+ 2y+ 1) chia hết cho d2 => y chia hết cho d

và  (2x+ 2y+ 1) - 2(x - y)  chia hết cho d =>  4y + 1 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d hay d = 1

Từ (*)(**) => x - y và 2x + 2y + 1 là số chính phương

Tương tự: có 3y2 - 3x2 + y - x = -x2

=> 3(x2 - y2) + (x - y) = x2

=> 3(x - y)(x+y) + (x - y) = x2

=> (x - y).(3x+ 3y + 1) = x2 là số chính phương 

Mà x - y là số chính phương nên 3x + 3y + 1 là số chonhs phương

=> ĐPCM

1 tháng 7 2015

=> 2x2 - 2y2 + x - y = y2

=> 2(x2 - y2) + (x - y) = y2

=> 2.(x - y).(x+y) + (x - y) = y2

=> (x - y).(2x+ 2y + 1) = y2  là số chính phương  (*)

Nhận xét: x - y và 2x + 2y + 1 nguyên tố cùng nhau  (**)  vì: 

Gọi d = ƯCLN(x - y; 2x + 2y + 1) 

=> x- y ; 2x + 2y + 1 chia hết cho d

=> y2 = (x - y).(2x+ 2y+ 1) chia hết cho d2 => y chia hết cho d

và  (2x+ 2y+ 1) - 2(x - y)  chia hết cho d =>  4y + 1 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d hay d = 1

Từ (*)(**) => x - y và 2x + 2y + 1 là số chính phương

Tương tự: có 3y2 - 3x2 + y - x = -x2

=> 3(x2 - y2) + (x - y) = x2

=> 3(x - y)(x+y) + (x - y) = x2

=> (x - y).(3x+ 3y + 1) = x2 là số chính phương 

Mà x - y là số chính phương nên 3x + 3y + 1 là số chính phương

=> ĐPCM

27 tháng 3 2020

Gọi ước chung lớn nhất của x - z và y - z là d ( d \(\in\)\(ℕ^∗\))

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-z⋮d\\y-z⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-z\right).\left(y-z\right)⋮d^2\)

\(\Rightarrow z^2⋮d^2\Rightarrow z⋮d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x⋮d\\y⋮d\end{cases}}\)

Mà x, y nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)\(\left(x-z,y-z\right)=1\)

Mà (x-z)(y-z)=z^2 chính phương

x,y,z thuộc N*

\(\Rightarrow x-z\)và \(y-z\)đều là số chính phương

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-z=m^2\\y-z=n^2\end{cases}}\)

với m,n thuộc Z

\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(y-z\right)=z^2=m^2n^2\)

\(\Rightarrow z=mn\)

Ta có: (x-z)+(y-z)=(x+y)-2z

\(\Rightarrow\left(x+y\right)=m^2+n^2+2mn\)

\(\Rightarrow x+y=\left(m+n\right)^2\)

Mặt khác: \(\left(x-z\right)\left(y-z\right)=z^2\)

\(\Rightarrow xy-zy-zx+z^2=z^2\Rightarrow xy-zy-zx=0\)\(\Rightarrow xy-z\left(x+y\right)=0\Rightarrow xy=z\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow xyz=z^2\left(x+y\right)=z^2\left(m+n\right)^2\)là số chính phương với z thuộc N*, m,n thuộc Z (đpcm)

Vậy xyz là số chính phương.

16 tháng 8 2020

xyz là số chính phương

4 tháng 4 2016

Sao ko thay cau tra loi cua may ban trc vay

27 tháng 3 2020

Gọi ước chung lớn nhất của x - z và y - z là d ( d \(\in\)\(ℕ^∗\))

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-z⋮d\\y-z⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-z\right).\left(y-z\right)⋮d^2\)

\(\Rightarrow z^2⋮d^2\Rightarrow z⋮d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x⋮d\\y⋮d\end{cases}}\)

Mà x, y nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)\(\left(x-z,y-z\right)=1\)

Mà (x-z)(y-z)=z^2 chính phương

x,y,z thuộc N*

\(\Rightarrow x-z\)và \(y-z\)đều là số chính phương

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-z=m^2\\y-z=n^2\end{cases}}\)

với m,n thuộc Z

\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(y-z\right)=z^2=m^2n^2\)

\(\Rightarrow z=mn\)

Ta có: (x-z)+(y-z)=(x+y)-2z

\(\Rightarrow\left(x+y\right)=m^2+n^2+2mn\)

\(\Rightarrow x+y=\left(m+n\right)^2\)

Mặt khác: \(\left(x-z\right)\left(y-z\right)=z^2\)

\(\Rightarrow xy-zy-zx+z^2=z^2\Rightarrow xy-zy-zx=0\)\(\Rightarrow xy-z\left(x+y\right)=0\Rightarrow xy=z\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow xyz=z^2\left(x+y\right)=z^2\left(m+n\right)^2\)là số chính phương với z thuộc N*, m,n thuộc Z (đpcm)

Vậy xyz là số chính phương.