TM
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HM
4
T
20 tháng 11 2018
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\) (1)
\(9+xy\ge2\sqrt{9xy}\) (2)
Từ (2) suy ra \(\frac{12xy}{9+xy}\le\frac{12}{2\sqrt{9xy}}=\frac{6}{\sqrt{9xy}}=\frac{6}{3\sqrt{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
Ta sẽ chứng minh \(2\sqrt{xy}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\).Thật vậy,ta có:
Điều cần chứng minh tương đương với: \(2\sqrt{xy}.\sqrt{xy}\ge2\)
hay \(2xy\ge2\) (luôn đúng vì x,y dương)
Suy ra đpcm
P/s: Tuy nhiên ở bài này dấu "=" xảy ra. =,=
T
20 tháng 11 2018
À nhầm xíu, bắt đầu lại chỗ: "Ta sẽ chứng minh ..."
Ta sẽ chứng minh \(\frac{2\sqrt{xy}}{1}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)( \(2\sqrt{xy}=\frac{2\sqrt{xy}}{1}\).Thật vậy,ta có:
Điều cần chứng minh tương đương với: \(\frac{2\sqrt{xy}.\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
Hay \(\frac{2xy}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) - luôn đúng (do x,y dương)
P/s: tuy nhiên dấu "=" không xảy ra ở bài này =((
HM
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 11 2018
Lời giải:
Áp dụng BDDT Cô-si cho các số dương:
\(x+y\geq 2\sqrt{xy}\)
\(9+xy\geq 2\sqrt{9xy}=6\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow (x+y)(9+xy)\geq 2\sqrt{xy}.6\sqrt{xy}=12xy\)
\(\Rightarrow x+y\geq \frac{12xy}{9+xy}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y>0; 9=xy\Rightarrow x=y=3\)
NC
0
T
24 tháng 12 2019
+)Với \(x+y-3< 3\) thì \(VT>0,VP< 0\Rightarrow VT>VP\)
Vậy BĐT đúng.
+)Với \(x+y-3=0\Rightarrow VP=0\). Mà \(VT=\frac{x^3+y^3}{xy+9}>0\forall x,y>0\Rightarrow VT>VP\)
Vậy BĐT đúng.
+) Với \(x+y-3>0\)
BĐT \(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge\left(xy+9\right)\left(x+y-3\right)\)
Ta có: \(VT-VP=\frac{3}{4}\left(x+y-6\right)^2+\frac{1}{4}\left(x-y\right)^2\left[4\left(x+y-3\right)+9\right]\ge0\)
Ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=3\)
Có cách nào ngắn hơn không ta? Em chỉ mới có 1 cách trên thôi.
LH
2
KN
14 tháng 4 2020
Bất đẳng thức bị ngược dấu rồi!
Ta có: \(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
Tương tự ta có: \(y+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right);z+xy=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)
\(\Rightarrow\text{Σ}_{cyc}\frac{x}{x+yz}=\frac{\text{Σ}_{cyc}\left[x\left(y+z\right)\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{2\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=2+\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\le2+\frac{2xyz}{8xyz}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
NV
2
11 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\frac{x^3}{y}+xy\ge2\sqrt{\frac{x^3}{y}.xy}=2x^2.\)
tương tự ta có:
\(\frac{y^3}{z}+yz\ge2y^2.\)\(\frac{z^3}{x}+zx\ge2z^2.\)
cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta có:
\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}+xy+yz+xz\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right).\)
Mặt khác ta có:\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\ge x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 3 2020
\(VT=\frac{\left(yz\right)^2}{x^2yz\left(y+z\right)}+\frac{\left(xz\right)^2}{zxy^2\left(x+z\right)}+\frac{\left(xy\right)^2}{xyz^2\left(x+y\right)}\)
\(VT=\frac{2\left(yz\right)^2}{xy+zx}+\frac{2\left(xz\right)^2}{xy+yz}+\frac{2\left(xy\right)^2}{xz+yz}\ge\frac{2\left(yz+xz+xy\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=xy+yz+zx\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)