K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

31 tháng 3 2020

xét BĐT \(2ab\le a^2+b^2=>\frac{a.b}{1}=a.b\le\frac{a^2+b^2}{2}\left(a,b>0\right)\)

Áp dụng , ta có

\(\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}\ge\frac{2}{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{3}{x^2+y^2}=\frac{4}{x^2+x^2}+\frac{3}{x^2+y^2}=\frac{7}{x^2+y^2}\)

áp dụng BĐT bunhia có 

\(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\left(\forall a,b,x,y>0\right)\)

Zậy 

\(\left(x+y\right)^2=1\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\left(x^2+y^2\right)\)

hay \(\frac{1}{2}\le x^2+y^2\)

zậy 

\(\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}\ge\frac{2}{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{3}{x^2+y^2}=\frac{7}{x^2+y^2}\ge\frac{7}{\frac{1}{2}}=14\left(dpcm\right)\)

dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi x=y=1/2

9 tháng 8 2017

2) Ta có:

\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\)

Áp dụng BĐT Schwarz:

\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

Mà x+y=1 nên suy ra:

\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\ge8\)

=>đpcm.

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=1/2

AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 5 2019

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\text{VT}=x-\frac{x}{x^2+z}+y-\frac{y}{y^2+x}+z-\frac{z}{z^2+y}=(x+y+z)-\left(\frac{x}{x^2+z}+\frac{y}{y^2+x}+\frac{z}{z^2+y}\right)\)

\(\geq (x+y+z)-\left(\frac{x}{2\sqrt{x^2z}}+\frac{y}{2\sqrt{y^2x}}+\frac{z}{2\sqrt{z^2y}}\right)=(x+y+z)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)(1)\)

Từ giả thiết \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)

Cauchy-Schwarz:

\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3(2)\)

\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\leq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(1+1+1)=9\)

\(\Rightarrow \left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\leq 3(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \text{VT}\geq 3-\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)

Mặt khác: \(\text{VP}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{3}{2}\)

Do đó \(\text{VT}\geq \text{VP}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$


31 tháng 1 2016

\(\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{3}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{3}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+yz+xz}=\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)^2\)

(*) ta CM :\(\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)^2>14\)

TA có \(\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)^{^2}=6+3+2\sqrt{18}=9+6\sqrt{2}>9+5=14\)

=> \(\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{3}{x^2+y^2+z^2}>14\)

24 tháng 12 2017

tiếp tục câu 2,vì máy bị lỗi nên phải tách ra:

Ta có:\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+xz+yz\right)\right).\)

Dó đó:\(x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+xz\right)+2010\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)^3.\)(2)

TỪ \(\left(1\right),\left(2\right)\)suy ra \(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}.\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2010}}{3}\)

24 tháng 12 2017

2)Ta có:

\(x\left(x^2-yz+2010\right)=x\left(x^2+xy+xz+1340\right)>0\)

Tương tự ta có:\(y\left(y^2-xz+2010\right)>0,z\left(z^2-xy+2010\right)>0\)

Áp dụng svac-xơ ta có:

\(P=\frac{x^2}{x\left(x^2-yz+2010\right)}+\frac{y^2}{y\left(y^2-xz+2010\right)}+\frac{z^2}{z\left(z^2-xy+2010\right)}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}.\)(1)

NV
19 tháng 3 2019

\(P=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-3xy\right)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}=4+2\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{3+\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\\y=\frac{3-\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\end{matrix}\right.\) và hoán vị

NV
19 tháng 3 2019

Cụ thể hơn:

\(\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\)

\(=\frac{1^2}{1-3xy}+\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}\)

Dấu "=" xảy ra khi

\(\frac{1-3xy}{1}=\frac{3xy}{\sqrt{3}}\Rightarrow1-3xy=\sqrt{3}xy\)

20 tháng 12 2016

\(\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)

22 tháng 12 2016

=2/xy+yz+zx+(1/xy+yz+zx+2/x2+y2+z2)>=6/(x+y+z)2+8/(x+y+z)2=6+8=14     :ap dung xy+yz+zx=<(x+y+z)2/3 va :1/a+1/b>=4/a+b         dau=xay ra<=>x=y=z=1/3

7 tháng 3 2021

Dễ dàng chứng minh được:

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với \(a,b,c>0\)(1)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

Theo đề bài, vì x, y, z > 0 nên áp dụng (1), ta có:

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)(2)

Vì x y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(3)

Chứng mih tương tự, ta được;

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(4);

\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(5)

Từ (3), (4), (5), ta được:

\(2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\)\(\frac{1}{2\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{x+y+z}{2}\)

7 tháng 3 2021

Mà theo đề bài, \(x+y+z\ge3\) nên:

\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)

Suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{2}\left(6\right)\)

Từ (2) và (6), ta được:

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)(điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)

Vậy nếu x, y, z > 0 và \(x+y+z\ge3\)thì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)