Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(Q=\frac{x^3}{4\left(y+2\right)}+\frac{y^3}{4\left(x+2\right)}=\frac{x^3\left(x+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\frac{y^3\left(y+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2x^3+2y^3}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(xy+2x+2y+4\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(2x+2y+8\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
\(Q=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\ge\frac{2x^2y^2+2xy\left(x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{2xy\left(xy+x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{8\left(x+y+4\right)}{8\left(x+y+4\right)}=1\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x=y\\xy=4\end{cases}}\Rightarrow x=y=2\)
Vậy GTNN của Q là 1 <=> x = y = 2
Or
\(Q-1=\frac{\left(x^2-y^2\right)^2+2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-8\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\ge0\)*đúng do \(x^2+y^2\ge2xy=8\)*
Do đó \(Q\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2
dự đoán của chúa Pain x=y=1
áp dụng BDT cô si ta có
\(A\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y+1\right)^2.\left(xy+x+y\right)}{\left(xy+x+y\right)\left(x+y+1\right)^2}}=2.\)
dấu = xảy ra khi
\(\left(x+y+1\right)^2=xy+x+y\) :)
Bổ đề: \(\left(mn+np+pm\right)^2\ge3mnp\left(m+n+p\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2+2mnp\left(m+n+p\right)\ge3mnp\left(m+n+p\right)\)\(\Leftrightarrow m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2\ge mnp\left(m+n+p\right)\)\(\Leftrightarrow m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2-mnp\left(m+n+p\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(mn-np\right)^2+\left(np-pm\right)^2+\left(pm-mn\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy bổ đề được chứng minh
Áp dụng vào bài toán, ta được: \(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)hay \(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3\left(x+y+z\right)\)(Do xyz = 1)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\Rightarrow A\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}-\frac{2}{xy+yz+zx}\)
Đặt \(\frac{1}{xy+yz+zx}=s\)thì \(A\ge3s^2-2s=3\left(s^2-\frac{2}{3}s+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}=3\left(s-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)
Vậy \(A\ge-\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x=y=z\\\frac{1}{xy+yz+zx}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Rightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(MinA=-\frac{1}{3}\), đạt được khi x = y = z = 1
Bằng bước biến đổi \(P=\frac{\left(x+y\right)^2+xy}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}\)ta có cách giải sau
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM,ta có: \(P=\frac{\left(x+y\right)^2+xy}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}\ge\frac{2\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}=2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 đạt được khi \(\left(x+y\right)^2=xy\Leftrightarrow x^2+xy+y^2=0\)
Cơ mà nếu vậy thì P không có giá trị nhỏ nhất à, hay là em làm sai
Đổi tên biểu thức thành M cho nó đỡ nhầm lẫn với cách phần đặt biến phụ nha!
Biểu thức đối xứng 2 biến x, y là em nghĩ đến cách đặt \(S=x+y;P=xy\Rightarrow S^2\ge4P\).(đẳng thức xảy ra khi x = y)
Có: \(M=\frac{S^2+P}{S\sqrt{P}}=\frac{S}{\sqrt{P}}+\frac{\sqrt{P}}{S}\). Đặt \(t=\frac{S}{\sqrt{P}}=\sqrt{\frac{S^2}{P}}\ge\sqrt{\frac{4P}{P}}=2\). Quy về tìm min biểu thức:
\(M=t+\frac{1}{t}\left(t\ge2\right)\). Đến đây có 2 cách:
+) Cách 1: \(t+\frac{1}{t}=\frac{t}{4}+\frac{1}{t}+\frac{3t}{4}\ge2\sqrt{\frac{t}{4}.\frac{1}{t}}+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi ... (anh tự giải nhá:3)
+) Cách 2: \(t+\frac{1}{t}=t+\frac{4}{t}-\frac{3}{t}\ge2\sqrt{t.\frac{4}{t}}-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Vậy...
Ta có : \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
\(\Rightarrow4\left(x^2+y^2\right)\ge8\)
Lại có : \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{2^2}=1\)
Do đó : \(P=4\left(x^2+y^2\right)+\frac{1}{xy}\ge8+1=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Lời giải phía trên sai rồi. Biểu thức (mình đặt là A) sẽ bằng \(\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)
Ta biển đổi \(A=\frac{1}{4}.\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{3}{4}.\frac{x^2+y^2}{xy}\)
Thực hiện BĐT Cauchy 2 lượng đầu, lượng cuối cùng dùng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\)
Vậy giá trị nhỏ nhất là \(\frac{5}{2}\)