Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z\)
1 slot tối làm cho :))
Bài này trích trong đề thi HSG Toán 9 tỉnh Thanh Hóa
Như đã hứa,giờ làm cho :))
BĐT\(\Leftrightarrow\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y}{xz+yz}+\frac{z}{x+z}\ge\frac{3}{2}\).Đặt \(\frac{x}{y}=a>0;\frac{y}{z}=b>0\)\(\Rightarrow ab=\frac{x}{z}\ge1\)
Ta có BĐT:\(\frac{1}{\frac{y^2}{xz}+\frac{y}{x}}+\frac{1}{\frac{xz}{y^2}+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\frac{b}{a}+\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\).Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có:
\(\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab+a+b}\).Ta cần chứng minh:\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab+a+b}\ge\frac{2\left(a+b\right)}{a+b+2}\)(*).Thật vậy:
(*)\(\Rightarrow\frac{a+b}{2ab+a+b}\ge\frac{2}{a+b+2}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b+2\right)\ge2\left(2ab+a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Nên \(\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{2\left(a+b\right)}{a+b+2}+\frac{1}{ab+1}\)\(\ge\frac{2\left(a+b\right)}{a+b+2}+\frac{4}{4+\left(a+b\right)^2}\)
Đặt \(m=a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\).Ta cần chứng minh:\(\frac{2m}{m+2}+\frac{4}{4+m^2}\ge\frac{3}{2}\)(**).Thật vậy
(**)\(\Leftrightarrow\frac{2m}{m+2}+\frac{3m^2+4}{2m^2+8}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{2m\left(2m^2+8\right)-\left(m+2\right)\left(3m^2+4\right)}{\left(m+2\right)\left(2m^2+8\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(m-2\right)^3}{\left(m+2\right)\left(2m^2+8\right)}\ge0\) đúng với mọi \(m\ge2\)
Vậy BĐT đã được chứng minh.Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi x=y=z
\(\sqrt{x^2+y^2+y^2}\ge\sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^4}}=\sqrt{3}.\sqrt[3]{xy^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt[3]{xy^2}}{z}+\frac{\sqrt[3]{yz^2}}{x}+\frac{\sqrt[3]{zx^2}}{y}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt{3}\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{xy^2.yz^2.zx^2}}{xyz}}=3\sqrt{3}.\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{x^3y^3z^3}}{xyz}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Bài này dùng Cauchy ngược dấu:
\(\Sigma\frac{2x^2}{x+y^2}=\Sigma\frac{2x\left(x+y^2\right)-2xy^2}{x+y^2}=2\left(x+y+z\right)-2.\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\)
Từ đây ta có thể quy bđt vế chứng minh: \(\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\le\frac{x+y+z}{2}\)
Ta có: \(VT\le\Sigma\frac{xy^2}{2\sqrt{xy^2}}=\Sigma\frac{\sqrt{xy.y}}{2}\le\frac{xy+yz+zx+x+y+z}{4}\)
Như vậy cần chứng minh: \(xy+yz+zx\le x+y+z\)
Ta có: \(VT=\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}\le x+y+z\)
Từ đây có đpcm:)
\(\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2x^2+2y^2+2z^2+8xy+8yz+8xz}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
Xét \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\x^2+z^2\ge2\sqrt{x^2z^2}=2xz\end{matrix}\right.\)
Cộng từng vế:
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow8\left(xy+yz+xz\right)\le8\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)\le10\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{10\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\)
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\ge\frac{1}{30}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{1}{30}\)
Vì \(\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{1}{30}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\ge\frac{1}{30}\) ( đpcm )
chịu chết
Xét \(VT=\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}\)
\(=\frac{\frac{x}{y}}{\frac{y}{z}+1}+\frac{\frac{y}{z}}{\frac{x}{y}+1}+1+\frac{1}{\frac{x}{z}+1}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=u,\frac{y}{z}=v\left(u,v>0\right)\Rightarrow\frac{x}{z}=uv\ge1\)(Do \(x\ge z\))
Khi đó vế trái được viết lại thành: \(\frac{u}{v+1}+\frac{v}{u+1}+1+\frac{1}{uv+1}\ge\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{u}{v+1}+\frac{v}{u+1}+\frac{1}{uv+1}\ge\frac{3}{2}\)với \(uv\ge1\)
Theo BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, ta có: \(\frac{u}{v+1}+\frac{v}{u+1}=\frac{u^2}{uv+u}+\frac{v^2}{uv+v}\ge\frac{\left(u+v\right)^2}{2uv+u+v}\)
\(\ge\frac{\left(u+v\right)^2}{\left(u+v\right)+\frac{\left(u+v\right)^2}{2}}=\frac{2\left(u+v\right)}{u+v+2}\)
Mặt khác: \(\frac{1}{uv+1}\ge\frac{1}{\frac{\left(u+v\right)^2}{4}+1}=\frac{4}{\left(u+v\right)^2+4}\)
Khi đó ta quy BĐT cần chứng minh về: \(\frac{2\left(u+v\right)}{u+v+2}+\frac{4}{\left(u+v\right)^2+4}\ge\frac{3}{2}\)(*)
Đặt \(w=u+v\ge2\sqrt{uv}\ge2\). Khi đó (*) trở thành \(\frac{2w}{w+2}+\frac{4}{w^2+4}\ge\frac{3}{2}\)với \(w\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(w-2\right)^2}{2\left(w+2\right)\left(w^2+4\right)}\ge0\)(đúng với mọi \(w\ge2\))
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}u+v=2\\uv=1\\u=v\end{cases}}\Leftrightarrow u=v=1\)hay x = y = z
Bạn tham khảo câu trả lời của mình và các bạn tại đây:
Câu hỏi của Lê Thành An - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
https://olm.vn/hoi-dap/detail/253622963565.html ( link nếu bạn ngại vào TKHĐ )
1.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương ta có:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)
tương tự, ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2c\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ac}{b}}=2a\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\) (ĐPCM)
ý b nghĩ đã ~.~
2.
P = \(\frac{x^2}{2-x}+\frac{y^2}{2-y}+\frac{z^2}{2-z}\)
Sau đó áp dụng bất đẳng thức AM - GM như trên nhé bạn!
Áp dụng BĐT B.C.S:
\(\left(\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\right)\left(\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x}\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Xét hiệu: \(A=\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}-\frac{x^2z}{y}-\frac{y^2x}{z}-\frac{z^2y}{x}\)
\(=\frac{1}{xyz}\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(xy+yz+xz\right)>0\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) đpcm
Dấu'=' xảy ra <=>x=y=z