TV
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NL
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 8 2021
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{x^2+1}=a>0\\y+\sqrt{y^2+1}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}=a-x\\\sqrt{y^2+1}=b-y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2ax=a^2-1\\2by=b^2-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a^2-1}{2a}\\y=\dfrac{b^2-1}{2b}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2-1}{2a}+\sqrt{\left(\dfrac{b^2-1}{2b}\right)+1}\right)\left(\dfrac{b^2-1}{2b}+\sqrt{\left(\dfrac{a^2-1}{2a}\right)+1}\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2-1}{2a}+\dfrac{b^2+1}{2b}\right)\left(\dfrac{b^2-1}{2b}+\dfrac{a^2+1}{2a}\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a-b}{2ab}\right)\left(\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a-b}{2ab}\right)=\dfrac{4ab}{4ab}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4ab}-\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4ab}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4ab}-\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4\left(ab\right)^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4ab}=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4ab}\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4ab}\right)=0\)
\(\Rightarrow1-\dfrac{1}{ab}=0\Rightarrow ab=1\)
\(\Rightarrow\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
\(\Rightarrow x+y=0\Rightarrow y=-x\)
\(P=2\left(x^2+\left(-x\right)^2\right)+0=4x^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=0\)
TT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 3 2022
\(1=x+y+3xy\le x+y+\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)-4\ge0\)
\(\Rightarrow3\left(x+y+2\right)\left(x+y-\dfrac{2}{3}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x+y\ge\dfrac{2}{3}\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{3}{2}\)
Đồng thời: \(x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{2}{9}\)
\(\Rightarrow-\left(x^2+y^2\right)\le-\dfrac{2}{9}\)
Từ đó ta có:
\(A=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\dfrac{1-\left(x+y\right)}{x+y}=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\dfrac{1}{x+y}-1\)
\(A\le\sqrt{2\left[2-\left(x^2+y^2\right)\right]}+\dfrac{1}{x+y}-1\le\sqrt{2\left(2-\dfrac{2}{9}\right)}+\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{3+8\sqrt{2}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{3}\)
NL
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2021
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\Rightarrow x+1\ge0\\\sqrt{x^2+1}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y\ge0\)
\(y_{min}=0\) khi \(x=-1\)
Lại có: \(y^2=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+1}=\dfrac{2\left(x^2+1\right)-x^2+2x-1}{x^2+1}=2-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\le2\)
\(\Rightarrow y\le\sqrt{2}\)
\(y_{max}=\sqrt{2}\) khi \(x=1\)
15 tháng 1 2020
Các biểu thức ở trong căn đều đưa được về bình phương
\(\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}=\sqrt{\left(2\sqrt{x}+1\right)^2}=\left|2\sqrt{x}+1\right|=2\sqrt{x}+1\)
Tương tự với hai căn còn lại ta sẽ có biểu thức đề cho tương đương với
\(2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+3\)
22 tháng 6 2020
Đầu tiên ta chứng minh được: \(\sum\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sum\sqrt{x}\right)^2}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\le3\)
Ta lại có: \(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}=\sqrt{\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\right)^2}\le\sqrt{2\left(1+x^2+2x\right)}=\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
Tương tự, ta sẽ có: \(P\le\sqrt{2}\left(x+1+y+1+z+1\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le\sqrt{2}.6+\left(2-\sqrt{2}\right)3=6+\sqrt{2}.3\)
KH
1
HP
16 tháng 1 2021
Từ giả thiết ta có:
\(x+y=3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}\right)\le3\sqrt{2\left(x+y+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow P\le3\sqrt{2\left(P+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\ge0\\18P+54\ge P^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\ge0\\P^2-18P-54\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow0\le P\le9+3\sqrt{15}\)
\(\Rightarrow maxP=9+3\sqrt{15}\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(\dfrac{10+3\sqrt{15}}{2};\dfrac{8+3\sqrt{15}}{2}\right)\)
\(A=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\le\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y+2\right)}\)
\(=\sqrt{x+y+2}\le\sqrt{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)