Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^3}+1+1+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+1+1+\dfrac{1}{y^3}+1+1\)
\(\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(x-1\right)^3}+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+\dfrac{1}{y^3}\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}-2\right)\)
\(=3\left(\dfrac{3-2x}{x-1}+\dfrac{x}{y}\right)\)
Áp dụng BĐT cô si\(\frac{1}{\left(x-1\right)^3}+1+1\ge\sqrt[3]{\frac{1}{\left(x-1\right)^3}\cdot1\cdot1}=\frac{1}{x-1}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(x-1\right)^3}\ge\frac{3}{x-1}-2\left(1\right)\)
\(\left(\frac{x-1}{y}\right)^3+1+1\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{x-1}{y}\right)^3\cdot1\cdot1}=\frac{3x-3}{y}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x-1}{y}\right)^3\ge\frac{3x-3}{y}-2\left(2\right)\)
\(\frac{1}{y^3}+1+1\ge\sqrt[3]{\frac{1}{y^3}\cdot1\cdot1}=\frac{3}{y}\Rightarrow\frac{1}{y^3}=\frac{3}{y}-2\left(3\right)\)
Cộng vế theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta có:
\(VT\ge\frac{3}{x-1}-6+\frac{3x-3}{y}+\frac{3}{y}\)
\(=\frac{3-6x+6}{x-1}+\frac{3x}{y}\)
\(=3\left(\frac{3-2x}{x-1}+\frac{x}{y}\right)\)
Câu hỏi của Đỗ Tuấn Linh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Ta có: \(x^2+\frac{1}{4}\ge x\Rightarrow x^2+y+\frac{3}{4}\ge x+y+\frac{1}{2}\)
Tương tự \(y^2+x+\frac{3}{4}\ge x+y+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y+\frac{3}{4}\right)\left(y^2+x+\frac{3}{4}\right)\ge\left(x+y+\frac{1}{2}\right)^2\) (1)
Mặt khác: \(\left(2x+\frac{1}{2}\right)\left(2y+\frac{1}{2}\right)\le\frac{1}{4}\left(2x+2y+1\right)^2=\left(x+y+\frac{1}{2}\right)^2\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow\left(x^2+y+\frac{3}{4}\right)\left(y^2+x+\frac{3}{4}\right)\ge\left(2x+\frac{1}{2}\right)\left(2y+\frac{1}{2}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Phan Thị Hà Vy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath