Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2015 số dương : x2015,x2015 và 2013 số 1. Ta có :
\(x^{2015}+x^{2015}+1+1+...+1\ge2015\sqrt[2015]{\left(x^2\right)^{2015}}=2015x^2\)
TT : \(y^{2015}+y^{2015}+1+1+...+1\ge2015y^2\)
\(z^{2015}+z^{2015}+1+1+...+1\ge2015z^2\)
Cộng 3 vế BĐT , ta được :
\(2\left(x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\right)+2013.3\ge2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le3\)
Dấu ' = " xảy ra khi x = y = z = 1
Câu hỏi của LIVERPOOL - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
bài này dễ mà
//vndoc.com/de-thi-hoc-sinh-gioi-lop-9-thcs-tinh-thanh-hoa-nam-hoc-2010-2011-mon-giao-duc-cong-dan-co-dap-an/download
đk của x,y,z là x,y,z\(\ge\sqrt{2014}\) nhé, xin lỗi chép sót đề 
\(Q=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}\right)\le3-\frac{16}{x+y+z+6}=\frac{1}{3}\)
dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)\)
Hệ đẳng cấp. Xét 2 TH: x = 0 và x khác 0.
+) Th1: x = 0 ---> không thỏa mãn
+) Th2: x khác 0
Đặt: y = ax; z = bx ( a; b > 0)
ta có hệ mới:
\(\hept{\begin{cases}x^2\left(a^2+b^2\right)=50\\x^2\left(1+a+\frac{a^2}{2}\right)=169\\x^2\left(1+b+\frac{b^2}{2}\right)=144\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2+b^2}{1+a+\frac{a^2}{2}}=\frac{50}{169}\\\frac{1+a+\frac{a^2}{2}}{1+b+\frac{b^2}{2}}=\frac{169}{144}\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}144a^2-50a-50+169b^2=0\\144a^2+288a-50-169b^2-338b=0\end{cases}}\)
Lấy vế dưới trừ vế trên ta có:
\(338a-338b^2-338b=0\) <=> \(a=b^2+b\) Thế vào 1 trong 2 phương trình ta có:
\(144\left(b^2+b\right)^2-50\left(b^2+b\right)-50+169b^2=0\)
<=> \(144b^4+288b^3+263b^2-50b-50=0\)
<=> \(\left(144b^4-25b^2\right)+\left(288b^3-50b\right)+\left(288b-50\right)=0\)
<=> \(\left(144b^2-25\right)\left(b^2+2b+2\right)=0\)
<=> \(144b^2-25=0\)
<=> \(b=\pm\frac{5}{12}\)
+) Với \(b=\frac{5}{12}\)ta có: \(a=\frac{85}{144}\)
Do đó: \(x^2\left[\left(\frac{5}{12}\right)^2+\left(\frac{85}{144}\right)^2\right]=50\)
<=> \(x^2=\frac{41472}{433}\)
=> \(K=xy+yz+zx=ax^2+bx^2+abx^2=x^2\left(a+b+ab\right)\) Em thay vào tính
+) Tương tự với b = -5/12
Phải là giá trị nhỏ nhất nha bạn
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel
\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge x\)
\(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y\)
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)
\(Vì\)\(x^{2014}\ge0;y^{2014}\ge0;z^{2014}\ge0\)
Mà \(x^{2014}+y^{2014}+z^{2014}=3\)
=>\(x^{2014}=1;y^{2014}=1;z^{2014}=1\)
=>x=1;y=1;z=1
=>M=1+1+1=3