K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
9 tháng 8 2017
2) Ta có:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà x+y=1 nên suy ra:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\ge8\)
=>đpcm.
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=1/2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 9 2021
Đặt \(\left(x-1;y-1\right)=\left(a;b\right)\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(a+1;b+1\right)\)
\(VT=\dfrac{\left(a+1\right)^3+\left(b+1\right)^3-\left(a+1\right)^2-\left(b+1\right)^2}{ab}=\dfrac{a^3+a+b^3+b+2\left(a^2+b^2\right)}{ab}\)
\(VT\ge\dfrac{2a^2+2b^2+2\left(a^2+b^2\right)}{ab}=\dfrac{4\left(a^2+b^2\right)}{ab}\ge\dfrac{8ab}{ab}=8\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 11 2019
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=\frac{2}{2xy}+\frac{2}{x^2+y^2}\ge\frac{2.4}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{\left(x+y\right)^2}=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
DK
5 tháng 6 2021
Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(A\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{4}{1}\right)^2=\dfrac{25}{2}\)
Dấu "=" \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}=\frac{x^2}{y-1}+4.\left(y-1\right)+\frac{y^2}{x-1}+4.\left(x-1\right)-4x-4y+8\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge2.\sqrt{\frac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}+2.\sqrt{\frac{y^2}{x-1}.4.\left(x-1\right)}-4x-4y+8\)
\(=2.\sqrt{4x^2}+2.\sqrt{4.y^2}-4x-4y+8\)
\(=4x+4y-4x-4y+8\)
\(=8\)
đpcm