Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)
\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)
\(=x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)
\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)
Nếu x,y,z khác số dư khi chia cho 3
+Nếu có 2 số chia hết cho 3.Số còn lại không chia hết cho 3.Giả sử x,y đều chia hết cho 3, z không chia hết cho 3=>x+y+z không chia hết cho 3. Do x,y đều chia hết cho 3 nên (x−y)⋮3=>(x−y)(y−z)(z−x)⋮3(Vô lý do (x−y)(y−z)(z−x)=x+y+z)
+Nếu có 1 số chia hết cho 3, 2 số còn lại khác số chia khi chia cho 3, không chia hết cho 3.Tương tự dẫn đến vô lý.
Vậy cả 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 =>(x−y)⋮3,(y−z)⋮3,(z−x)⋮3=>(x−y)(y−z)(z−x)⋮27=>(x+y+z)⋮27
hùi nãy mem nào k sai cho t T_T t buồn
\(VT\ge6\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+2.\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2-2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=6.\left(\frac{3}{4}\right)^2-2.\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+\frac{9}{2.\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{27}{8}-\frac{3}{8}+6=9\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge9\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Chúc bạn học tốt ~
\(a^2+b^2=\left(a+b-c\right)^2=a^2+\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)=b^2+\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2=\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)\\a^2=\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\dfrac{\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)+\left(a-c\right)^2}{\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left(a-c\right)\left(a+b-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b+a-c\right)}=\dfrac{a-c}{b-c}\) (đpcm)
a) Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y-z=a\\y+z-x=b\\z+x-y=c\end{cases}\Rightarrow}x=\frac{a+c}{2};y=\frac{b+a}{2};z=\frac{c+b}{2}\)
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\frac{a+b}{2}.\frac{b+c}{2}.\frac{c+a}{2}\ge abc\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8}\ge abc\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\ge0\\b+c\ge2\sqrt{bc}\ge0\\c+a\ge2\sqrt{ca}\ge0\end{cases}\Rightarrow}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\)
Vật bất đẳng thức được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\)
- Nếu \(x,y,z\)đôi một không cùng số dư khi chia hết cho \(3\), khi đó giả sử \(x\equiv0\left(mod3\right),y\equiv1\left(mod3\right),z\equiv2\left(mod3\right)\).
Ta có: \(VP\equiv0+1+2\equiv0\left(mod3\right)\)
\(VT\)không có thừa số nào chia hết cho \(3\)nên \(VT⋮̸3\)do đó mâu thuẫn.
- Nếu có hai trong ba số \(x,y,z\)có cùng số dư khi chia cho \(3\).
Khi đó \(VT\)chia hết cho \(3\).
\(VP\)không chia hết cho \(3\)(mâu thuẫn).
Do đó cả \(3\)số \(x,y,z\)có cùng số dư khi chia cho \(3\).
Vậy \(x+y+z=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮\left(3.3.3\right)\)
hay ta có đpcm.
Một số nguyên chia cho 3 có số dư là 0,1 hoặc 2
- Nếu x,y,z chia cho 3 có số dư khác nhau
\(\Rightarrow x-y⋮̸3;y-z⋮̸3;z-x⋮̸3\)còn \(x+y+z⋮3\)
Do đó \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=x+y+z\)không xảy ra
- Nếu x,y,z chỉ có hai số chia cho 3 có cùng số dư
Không mất tính tổng quát,giả sử là x và y ta có :
\(x-y⋮3,x+y+z⋮̸3\)
Do đó \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=x+y+z\)cũng không xảy ra
Do đó x,y,z chia cho 3 có cùng số dư
\(\Rightarrow x-y⋮3;y-z⋮3;z-x⋮3\)
\(\Rightarrowđpcm\)